उल्टो आकर्षण
त्यहाँ "विपरीतको आकर्षण" को बारे मा धेरै कुरा छ, र न केवल गणित मा। याद गर्नुहोस् कि विपरित संख्याहरू ती हुन् जुन चिन्हमा मात्र फरक हुन्छन्: प्लस 7 र माइनस 7। विपरीत संख्याहरूको योग शून्य हो। तर हाम्रो लागि (अर्थात् गणितज्ञहरू) पारस्परिकहरू बढी रोचक छन्। यदि संख्याहरूको गुणन 1 बराबर छ भने, यी संख्याहरू एकअर्काको विपरीत हुन्छन्। प्रत्येक संख्याको विपरित हुन्छ, प्रत्येक गैर-शून्य संख्याको यसको विपरीत हुन्छ। पारस्परिक को पारस्परिक बीज हो।
जहाँ दुई परिमाणहरू एकअर्कासँग सम्बन्धित छन् त्यहाँ उल्टो हुन्छ ताकि यदि एक बढ्यो भने, अर्को समान दरमा घट्छ। "सान्दर्भिक" को मतलब यी मात्राहरूको उत्पादन परिवर्तन हुँदैन। हामी स्कूलबाट सम्झन्छौं: यो एक उल्टो अनुपात हो। यदि म मेरो गन्तव्यमा दोब्बर छिटो पुग्न चाहन्छु (अर्थात् समयलाई आधामा काट्नुहोस्), मैले मेरो गति दोब्बर गर्नुपर्छ। यदि ग्यास भएको सिल गरिएको भाँडोको भोल्युम n गुणाले घटाइयो भने, त्यसको दबाब n गुणाले बढ्छ।
प्रारम्भिक शिक्षामा, हामी विभेद र सापेक्षिक तुलनाहरू बीचमा ध्यानपूर्वक भेद गर्छौं। "अझ कति"? – “कति गुणा बढी ?”
यहाँ केहि विद्यालय गतिविधिहरू छन्:
1 नौकरी। दुई सकारात्मक मानहरू मध्ये, पहिलो दोस्रो भन्दा 5 गुणा ठूलो छ र एकै समयमा पहिलो भन्दा 5 गुणा ठूलो छ। आयामहरू के हुन्?
2 नौकरी। यदि एक नम्बर दोस्रो भन्दा 3 ठूलो छ, र दोस्रो तेस्रो भन्दा 2 ठूलो छ, तेस्रो भन्दा पहिलो संख्या कति ठूलो छ? यदि पहिलो धनात्मक सङ्ख्या दोस्रोको दुई गुणा र पहिलो सङ्ख्या तेस्रोको तीन गुणा हो भने, पहिलो सङ्ख्या तेस्रोभन्दा कति गुणा ठूलो हुन्छ?
3 नौकरी। कार्य २ मा, प्राकृतिक संख्याहरूलाई मात्र अनुमति छ। के त्यहाँ वर्णन गरिएको यस्तो व्यवस्था सम्भव छ?
4 नौकरी। दुई सकारात्मक मानहरू मध्ये, पहिलो दोस्रोको 5 गुणा हो, र दोस्रो पहिलोको 5 गुणा हो। के यो सम्भव छ?
"औसत" वा "औसत" को अवधारणा धेरै सरल देखिन्छ। यदि मैले सोमबार 55 किमी, मंगलबार 45 किमी र बुधबार 80 किमी साइकल चलाएँ भने, मैले औसतमा 60 किमी प्रति दिन साइकल चलाएँ। हामी यी गणनाहरूसँग पूर्ण हृदयले सहमत छौं, यद्यपि तिनीहरू थोरै अनौठो छन् किनभने मैले एक दिनमा 60 किलोमिटर ड्राइभ गरेको छैन। हामी सजिलै एक व्यक्तिको शेयर स्वीकार गर्छौं: यदि दुई सय मानिसहरू छ दिन भित्र रेस्टुरेन्टमा भ्रमण गर्छन् भने, औसत दैनिक दर 33 र एक तिहाई व्यक्ति हो। हम्म!
त्यहाँ औसत आकारको साथ मात्र समस्याहरू छन्। मलाई साइकल चलाउन मन पर्छ। त्यसैले मैले ट्राभल एजेन्सी "हामीसँग जाऔं" को प्रस्तावको फाइदा उठाए - तिनीहरूले होटलमा सामान पठाउँछन्, जहाँ ग्राहक मनोरञ्जन उद्देश्यका लागि साइकल चलाउँछन्। शुक्रबार मैले चार घण्टाको लागि गाडी चलाएँ: पहिलो दुई 24 किमी प्रति घण्टाको गतिमा। त्यसपछि म यति थकित भएँ कि अर्को दुईको लागि प्रति घण्टा मात्र 16 को दरमा। मेरो औसत गति के थियो? अवश्य (24+16)/2=20km=20km/h।
तर शनिबार सामान होटलमै छाडेर २४ किलोमिटर टाढा रहेको महलको भग्नावशेष हेर्न गएँ र देखेपछि फर्किएँ । मैले एक घन्टा एक दिशामा चलाएँ, 24 किमी प्रति घण्टाको गतिमा अझ बिस्तारै फर्के। होटल-किल्ला-होटल मार्गमा मेरो औसत गति कति थियो? 16 किमी प्रति घण्टा? पक्कै होइन। आखिर, मैले जम्मा ४८ किलोमिटर ड्राइभ गरें र यसले मलाई एक घण्टा ("त्यहाँ") र डेढ घण्टा पछाडि लाग्यो। साढे दुई घण्टामा ४८ किमी, अर्थात् घण्टा ४८/२.५=१९२/१०=१९.२ किमी! यस अवस्थामा, औसत गति अंकगणितीय माध्य होइन, तर दिइएको मानहरूको हार्मोनिक हो:
र यो दुई-कथा सूत्र निम्न रूपमा पढ्न सकिन्छ: सकारात्मक संख्याहरूको हार्मोनिक माध्य तिनीहरूको पारस्परिक अंकगणितीय माध्यको पारस्परिक हो। पारस्परिकहरूको योगफलको पारस्परिक कार्य विद्यालय असाइनमेन्टको धेरै कोरसहरूमा देखा पर्दछ: यदि एक कार्यकर्ताले घण्टा खन्ने गर्दछ, अर्को - बी घण्टा, त्यसपछि, सँगै काम गर्दै, उनीहरूले समयमै खन्ने गर्छन्। पानीको पोखरी (एक प्रति घण्टा, अर्को बी घण्टामा)। यदि एउटा प्रतिरोधकमा R1 र अर्कोमा R2 छ भने, तिनीहरूसँग समानान्तर प्रतिरोध हुन्छ।
यदि एउटा कम्प्युटरले सेकेन्डमा समस्या समाधान गर्न सक्छ, अर्को कम्प्युटरले b सेकेन्डमा, तब तिनीहरूले सँगै काम गर्दा...
रोक! यो जहाँ समानता समाप्त हुन्छ, किनकि सबै कुरा नेटवर्क को गति मा निर्भर गर्दछ: जडान को दक्षता। कामदारहरूले पनि एकअर्कालाई बाधा वा मद्दत गर्न सक्छन्। यदि एक जना मानिसले आठ घण्टामा इनार खन्न सक्छ भने के ८० जना मजदुरले एक घण्टाको १/१० (वा ६ मिनेट) मा गर्न सक्छन् ? यदि छ जना पोर्टरहरूले 1 मिनेटमा पियानोलाई पहिलो तल्लामा लैजान्छन् भने, तिनीहरूमध्ये एउटाले 10 औं तलामा पियानो पुर्याउन कति समय लिन्छ? त्यस्ता समस्याहरूको बेतुकापनले "जीवनबाट" समस्याहरूमा सबै गणितको सीमित लागूतालाई दिमागमा ल्याउँछ।
सम्पूर्ण विक्रेताको बारेमा
तराजूहरू अब प्रयोग हुँदैनन्। याद गर्नुहोस्, त्यस्ता तराजूको एउटा कचौरामा तौल राखिएको थियो र तौलिएको सामान अर्कोमा राखिएको थियो र जब तौल सन्तुलित हुन्छ, तब सामानको तौल जत्तिकै हुन्छ। निस्सन्देह, वजन लोड को दुवै हात एउटै लम्बाइ हुनुपर्छ, अन्यथा वजन गलत हुनेछ।
ओह सहि। एक विक्रेताको कल्पना गर्नुहोस् जसको वजन असमान लिभरेज छ। यद्यपि, उनी ग्राहकहरूसँग इमानदार हुन चाहन्छन् र सामानलाई दुईवटा ब्याचमा तौल्छन्। पहिले, उसले एउटा प्यानमा वजन राख्छ, र अर्कोमा सामानको समान मात्रा - ताकि तराजू सन्तुलनमा छ। त्यसपछि उसले सामानको दोस्रो "आधा" लाई उल्टो क्रममा तौल गर्छ, त्यो हो, उसले दोस्रो कचौरामा तौल राख्छ, र सामानहरू पहिलोमा। हातहरू असमान भएकाले, "आधाहरू" कहिल्यै बराबर हुँदैनन्। र बिक्रेताको विवेक स्पष्ट छ, र क्रेताहरूले उनको इमानदारीको प्रशंसा गर्छन्: "मैले यहाँ के हटाएँ, त्यसपछि थपे।"
यद्यपि, अनिश्चित वजनको बावजुद इमानदार हुन चाहने विक्रेताको व्यवहारलाई नजिकबाट हेरौं। सन्तुलनका हातहरूको लम्बाइ a र b हुन दिनुहोस्। यदि एउटा कचौरा एक किलोग्राम तौलले र अर्कोमा x सामानहरू भरिएको छ भने, ax = b पहिलो पटक र bx = a दोस्रो पटक भएमा तराजूहरू सन्तुलनमा छन्। त्यसोभए, सामानको पहिलो भाग बी / एक किलोग्राम बराबर छ, दोस्रो भाग एक / बी हो। राम्रो तौल a = b छ, त्यसैले खरिदकर्ताले 2 kg सामान प्राप्त गर्नेछ। ≠ b हुँदा के हुन्छ हेरौं। त्यसपछि a – b ≠ 0 र हामीसँग घटाइएको गुणन सूत्रबाट
हामी एक अप्रत्याशित नतिजामा आएका छौं: यस मामला मा मापन "औसत" को उचित तरिकाले अधिक सामानहरू प्राप्त गर्ने क्रेताको फाइदामा काम गर्दछ।
असाइनमेन्ट २। (महत्वपूर्ण, कुनै पनि हिसाबले गणितमा!) एउटा लामखुट्टेको तौल २.५ मिलिग्राम हुन्छ, र हात्तीको तौल पाँच टन हुन्छ (यो एकदम सही तथ्यांक हो)। लामखुट्टे र हात्ती मास (तौल) को अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य, र हार्मोनिक माध्य गणना गर्नुहोस्। गणनाहरू जाँच गर्नुहोस् र हेर्नुहोस् कि तिनीहरूले अंकगणितीय अभ्यासहरू बाहेक कुनै अर्थ राख्छन्। "वास्तविक जीवन" मा अर्थ नहुने गणितीय गणनाका अन्य उदाहरणहरू हेरौं। सुझाव: हामीले यस लेखमा एउटा उदाहरण पहिले नै हेरेका छौं। के यसको मतलब यो हो कि एक बेनामी विद्यार्थी जसको विचार मैले इन्टरनेटमा फेला पारेको थियो: "गणितले संख्याको साथ मानिसहरूलाई मूर्ख बनाउँछ"?
हो, म सहमत छु कि गणितको भव्यतामा, तपाईले मानिसहरूलाई "मूर्ख" बनाउन सक्नुहुन्छ - प्रत्येक दोस्रो शैम्पू विज्ञापनले केही प्रतिशतले फ्लफिनेस बढाउँछ भनेर भन्छ। के हामी आपराधिक गतिविधिहरूको लागि प्रयोग गर्न सकिने उपयोगी दैनिक उपकरणहरूको अन्य उदाहरणहरू खोज्ने छौं?
ग्राम!
यस खण्डको शीर्षक क्रिया (पहिलो व्यक्ति बहुवचन) होईन संज्ञा (किलोग्रामको हजारौं भागको नामांकन बहुवचन)। सद्भावले क्रम र संगीतलाई बुझाउँछ। पुरातन ग्रीकहरूका लागि, संगीत विज्ञानको एक शाखा थियो - यो स्वीकार गर्नुपर्छ कि यदि हामीले त्यसो भन्यौं भने, हामीले "विज्ञान" शब्दको वर्तमान अर्थलाई हाम्रो युग अघिको समयमा स्थानान्तरण गर्छौं। पाइथागोरस ईसापूर्व XNUMX औं शताब्दीमा बाँचिरहेका थिए। उसलाई कम्प्युटर, मोबाइल फोन र इ-मेल मात्र थाहा थिएन, तर रोबर्ट लेवान्डोस्की, मिज्को I, शार्लेमेन र सिसेरो को थिए भनेर पनि थाहा थिएन। उसलाई अरबी वा रोमन अंकहरू पनि थाहा थिएन (तिनीहरू ईसापूर्व XNUMX औं शताब्दीको वरिपरि प्रयोगमा आए), उनलाई प्युनिक युद्धहरू के हो भनेर थाहा थिएन ... तर उसलाई संगीत थाहा थियो ...
उसलाई थाहा थियो कि तारका उपकरणहरूमा कम्पनको गुणांक तारका कम्पन भागहरूको लम्बाइको विपरीत समानुपातिक हुन्छ। उसलाई थाहा थियो, उसलाई थाहा थियो, उसले यसलाई आज हामीले गर्ने तरिका व्यक्त गर्न सक्दैन।
अक्टेभ बनाउने दुई स्ट्रिङ कम्पनहरूको फ्रिक्वेन्सीहरू १:२ अनुपातमा हुन्छन्, अर्थात्, उच्च नोटको फ्रिक्वेन्सी तल्लोको फ्रिक्वेन्सीभन्दा दोब्बर हुन्छ। पाँचौंको लागि सही कम्पन अनुपात 1:2, चौथो 2:3, शुद्ध प्रमुख तेस्रो 3:4, माइनर तेस्रो 4:5 हो। यी सुखद व्यञ्जन अन्तरालहरू हुन्। त्यसपछि त्यहाँ दुई तटस्थ छन्, 5:6 र 6:7 को कम्पन अनुपात संग, त्यसपछि असन्तुष्ट - एक ठूलो स्वर (7:8), एक सानो टोन (8:9)। यी अंशहरू (अनुपातहरू) अनुक्रमका क्रमिक सदस्यहरूको अनुपातहरू जस्तै हुन् जसलाई गणितज्ञहरूले (यही कारणले गर्दा) हार्मोनिक श्रृंखला भनिन्छ:
सैद्धान्तिक रूपमा अनन्त योगफल हो। अष्टकको दोलनको अनुपात 2:4 को रूपमा लेख्न सकिन्छ र तिनीहरूको बीचमा पाँचौं राख्नुहोस्: 2:3:4, अर्थात्, हामी अक्टेभलाई पाँचौं र चौथोमा विभाजन गर्नेछौं। यसलाई गणितमा हार्मोनिक खण्ड विभाजन भनिन्छ:
चामल। 1. संगीतकारको लागि: अक्टेभ AB लाई पाँचौं AC मा विभाजन गर्दै।गणितज्ञका लागि: हार्मोनिक विभाजन
जब मैले सैद्धान्तिक रूपमा अनन्त योगको (माथि) कुरा गर्छु, जस्तै हार्मोनिक शृङ्खलाको कुरा गर्दा मेरो मतलब के हो? यो बाहिर जान्छ कि यस्तो योग कुनै पनि ठूलो संख्या हुन सक्छ, मुख्य कुरा यो छ कि हामी एक लामो समय को लागी थप्छौं। त्यहाँ थोरै र कम सामग्रीहरू छन्, तर तिनीहरूमध्ये धेरै र अधिक छन्। के प्रबल हुन्छ? यहाँ हामी गणितीय विश्लेषणको दायरामा प्रवेश गर्छौं। यो बाहिर जान्छ कि अवयवहरू समाप्त हुन्छन्, तर धेरै चाँडै होइन। म देखाउनेछु कि पर्याप्त सामग्री लिएर, म योग गर्न सक्छु:
मनमानी रूपमा ठूलो। "उदाहरणका लागि" n = 1024 लिऔं। चित्रमा देखाइएका शब्दहरूलाई समूहबद्ध गरौं:
प्रत्येक कोष्ठकमा, प्रत्येक शब्द अघिल्लो भन्दा ठूलो छ, बाहेक, निस्सन्देह, अन्तिम एक, जुन आफैमा बराबर छ। निम्न कोष्ठकहरूमा, हामीसँग 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 र 512 घटकहरू छन्; प्रत्येक कोष्ठक मा योग को मान ½ भन्दा ठूलो छ। यो सबै 5½ भन्दा बढी हो। थप सटीक गणनाले देखाउँछ कि यो रकम लगभग 7,50918 हो। धेरै होइन, तर सँधै, र तपाईले देख्न सक्नुहुन्छ कि कुनै पनि ठूलो n लिएर, म कुनै पनि संख्यालाई जित्न सक्छु। यो एक अविश्वसनीय रूपमा ढिलो छ (उदाहरणका लागि, हामी एक्लै सामग्रीको साथ शीर्ष दस), तर असीम वृद्धिले गणितज्ञहरूलाई सधैं मोहित गरेको छ।
हार्मोनिक श्रृंखला संग अनन्तता को यात्रा
यहाँ केहि राम्रा गम्भीर गणित को लागी एक पहेली छ। हामीसँग आयताकार ब्लकहरूको असीमित आपूर्ति छ (म के भन्न सक्छु, आयताकार!) आयामहरू, भन्नुहोस्, 4 × 2 × 1। धेरै (मा) समावेश भएको प्रणालीलाई विचार गर्नुहोस्। अंजीर १ - चार) ब्लकहरू, व्यवस्थित गरिएको छ कि पहिलो यसको लम्बाइको ½ ले झुक्यो, दोस्रो माथिबाट ¼ र यस्तै, तेस्रो एक छैटौं। ठिक छ, सायद यसलाई साँच्चै स्थिर बनाउनको लागि, पहिलो इट्टालाई अलि कम झुकाऔं। हिसाबले केही फरक पर्दैन।
चामल। 2. गुरुत्वाकर्षण केन्द्र निर्धारण गर्दै
यो पनि बुझ्न सजिलो छ कि पहिलो दुई ब्लकहरू (माथिबाट गन्दै) मिलेर बनेको चित्रको बिन्दु B मा सममितिको केन्द्र छ, त्यसपछि B गुरुत्वाकर्षणको केन्द्र हो। तीनवटा माथिल्लो ब्लकहरू मिलेर बनेको प्रणालीको गुरुत्वाकर्षणको केन्द्रलाई ज्यामितीय रूपमा परिभाषित गरौं। यहाँ एक धेरै साधारण तर्क पर्याप्त छ। मानसिक रूपमा तीन-ब्लक संरचनालाई दुई माथिल्लो र तेस्रो तल्लोमा विभाजन गरौं। यो केन्द्र दुई भागहरूको गुरुत्वाकर्षण केन्द्रहरू जोड्ने खण्डमा अवस्थित हुनुपर्छ। यो एपिसोडमा कुन बिन्दुमा?
नामित गर्न दुई तरिकाहरू छन्। पहिलोमा, हामी अवलोकन प्रयोग गर्नेछौं कि यो केन्द्र तीन-ब्लक पिरामिडको बीचमा हुनुपर्छ, अर्थात्, दोस्रो, मध्य ब्लकलाई काट्ने सीधा रेखामा। दोस्रो तरिकामा, हामी बुझ्छौं कि दुई शीर्ष ब्लकहरूको कुल द्रव्यमान एकल ब्लक #3 (शीर्ष) भन्दा दोब्बर छ, यस खण्डको गुरुत्वाकर्षण केन्द्र केन्द्रको भन्दा दुई गुणा B नजिक हुनुपर्दछ। तेस्रो ब्लकको एस। त्यसै गरी, हामी अर्को बिन्दु फेला पार्छौं: हामी चौथो ब्लकको केन्द्र S सँग तीनवटा ब्लकहरूको फेला पारिएको केन्द्र जोड्छौं। सम्पूर्ण प्रणालीको केन्द्र उचाइ 2 मा छ र खण्डलाई 1 देखि 3 (अर्थात, यसको लम्बाइको ¾ ले) विभाजित गर्ने बिन्दुमा छ।
हामीले चित्रमा देखाइएको नतिजामा अलिकति अगाडि लैजाने गणनाहरू। rys। पाँच। गुरुत्वाकर्षणको लगातार केन्द्रहरू निम्न ब्लकको दाहिने किनारबाट हटाइन्छ:
यसरी, पिरामिडको गुरुत्वाकर्षण केन्द्रको प्रक्षेपण सधैं आधार भित्र हुन्छ। टावर ढल्ने छैन। अब हेरौं अंजीर १ र एक क्षणको लागि, माथिबाट पाँचौं ब्लकलाई आधारको रूपमा प्रयोग गरौं (उज्ज्वल रङले चिन्ह लगाइएको)। शीर्ष झुकाव:
यसरी, यसको बायाँ किनारा आधारको दाहिने किनारा भन्दा 1 अगाडि छ। यहाँ अर्को स्विंग छ:
सबैभन्दा ठूलो स्विंग के हो? हामीलाई पहिले नै थाहा छ! त्यहाँ कुनै ठूलो छैन! सबैभन्दा सानो ब्लकहरू पनि लिएर, तपाईंले एक किलोमिटरको ओभरह्याङ प्राप्त गर्न सक्नुहुन्छ - दुर्भाग्यवश, केवल गणितीय रूपमा: सम्पूर्ण पृथ्वी यति धेरै ब्लकहरू निर्माण गर्न पर्याप्त हुनेछैन!
चामल। 3. थप ब्लकहरू थप्नुहोस्
अब हामीले माथि छोडेको गणना। हामी x-अक्षमा सबै दूरीहरू "तेर्सो रूपमा" गणना गर्नेछौं, किनभने त्यहाँ त्यहाँ छ। पोइन्ट A (पहिलो ब्लकको गुरुत्वाकर्षणको केन्द्र) दायाँ किनारबाट 1/2 छ। पोइन्ट B (दुई ब्लक प्रणालीको केन्द्र) दोस्रो ब्लकको दाहिने किनाराबाट १/४ टाढा छ। सुरूवात बिन्दु दोस्रो ब्लकको अन्त्य हुन दिनुहोस् (अब हामी तेस्रोमा जान्छौं)। उदाहरण को लागी, एकल ब्लक #1 को गुरुत्वाकर्षण को केन्द्र कहाँ छ? यस ब्लकको आधा लम्बाइ, त्यसैले, यो हाम्रो सन्दर्भ बिन्दुबाट 4/3 + 1/2 = 1/4 हो। बिन्दु C कहाँ छ? 3/4 र 3/4 बीचको खण्डको दुई तिहाइमा, अर्थात् अघिल्लो बिन्दुमा, हामी तेस्रो ब्लकको दायाँ किनारामा सन्दर्भ बिन्दु परिवर्तन गर्छौं। तीन-ब्लक प्रणालीको गुरुत्वाकर्षण केन्द्र अब नयाँ सन्दर्भ बिन्दुबाट हटाइएको छ, र यस्तै। गुरुत्वाकर्षण केन्द्र Cn n ब्लकहरू मिलेर बनेको टावर तात्कालिक सन्दर्भ बिन्दुबाट 1/2n टाढा छ, जुन आधार ब्लकको दाहिने किनारा हो, अर्थात् शीर्षबाट n औं ब्लक।
पारस्परिक शृङ्खलाहरू भिन्न हुने हुनाले, हामी कुनै पनि ठूलो भिन्नता प्राप्त गर्न सक्छौं। के यो साँच्चै कार्यान्वयन हुन सक्छ? यो एक अन्तहीन ईंट टावर जस्तै छ - ढिलो वा चाँडो यो आफ्नै वजन अन्तर्गत पतन हुनेछ। हाम्रो योजनामा, ब्लक प्लेसमेन्टमा न्यूनतम त्रुटिहरू (र शृङ्खलाको आंशिक योगफलमा ढिलो वृद्धि) को अर्थ हामी धेरै टाढा पुग्ने छैनौं।
