ज्यामितीय मार्गहरू र झाडीहरू

यो लेख लेख्दै गर्दा, मलाई Jan Pietrzak को एक धेरै पुरानो गीत याद आयो, जुन उसले क्याबरे Pod Egidą मा आफ्नो व्यंग्य गतिविधि अघि गाएको थियो, पोलिश जनवादी गणतन्त्र एक सुरक्षा भल्भ को रूप मा मान्यता प्राप्त; प्रणालीको विरोधाभासहरूमा ईमानदारीपूर्वक हाँस्न सक्छ। यस गीतमा लेखकले समाजवादी राजनीतिक सहभागिता, अराजनीतिक हुन चाहनेलाई खिल्ली उडाउने र पत्रपत्रिकामा रेडियो बन्द गर्ने सिफारिस गरेका छन् । "विद्यालयको पढाइमा फर्किनु राम्रो हो," तत्कालीन XNUMX-वर्षीय पेटशाकले व्यंग्यात्मक रूपमा गाए।

म स्कुल पढ्न फर्किन्छु। म श्चेपन येलेन्स्की (१८८१-१९४९) "लीलावती" को पुस्तक (पहिलो पटक होइन) पुन: पढ्दैछु। थोरै पाठकहरूको लागि, शब्द आफैंले केहि भन्छ। यो प्रसिद्ध हिन्दू गणितज्ञ भास्कर (1881-1949) को छोरीको नाम हो, जसलाई अकरिया भनिन्छ, वा ऋषि जसले बीजगणितमा आफ्नो पुस्तकको शीर्षक राखेका थिए। लीलावती पछि आफैं एक प्रसिद्ध गणितज्ञ र दार्शनिक भइन्। अन्य स्रोतहरूका अनुसार, यो पुस्तक आफैंले लेखेका थिए।

Szczepan Yelensky ले गणितमा आफ्नो पुस्तक (पहिलो संस्करण, 1926) लाई उही शीर्षक दिए। यो पुस्तकलाई गणितीय कार्य भन्न पनि गाह्रो हुन सक्छ - यो धेरै पजलहरूको सेट थियो, र ठूलो मात्रामा फ्रान्सेली स्रोतहरूबाट पुन: लेखिएको थियो (आधुनिक अर्थमा प्रतिलिपि अधिकारहरू अवस्थित थिएनन्)। जे भए पनि, धेरै वर्षको लागि यो गणित मा एक मात्र लोकप्रिय पोलिश पुस्तक थियो - पछि Jelensky को दोस्रो पुस्तक, पाइथागोरसको मिठाई, यसमा थपिएको थियो। त्यसोभए गणितमा रुचि राख्ने युवाहरू (जुन म कुनै समय थिएँ) सँग छनौट गर्न केहि थिएन ...

अर्कोतर्फ, "लीलावती" लाई लगभग हृदयले चिन्नुपर्ने थियो ... आह, कहिलेकाहीँ ... तिनीहरूको सबैभन्दा ठूलो फाइदा यो थियो कि म ... तब किशोर थिएँ। आज, एक शिक्षित गणितज्ञको दृष्टिकोणबाट, म लीलावतीलाई पूर्णतया फरक तरिकाले हेर्छु - सायद श्पिग्लासोभा पसेलेन्चको बाटोको मोडमा आरोही जस्तै। न त एक न अर्कोले आफ्नो आकर्षण गुमाउछ ... आफ्नो विशेषता शैलीमा, आफ्नो व्यक्तिगत जीवनमा तथाकथित राष्ट्रिय विचारहरू पेश गर्ने श्चेपान येलेन्स्की, उनी प्रस्तावनामा लेख्छन्:

राष्ट्रिय विशेषताहरूको वर्णनलाई नछोइकन, म भन्न चाहन्छु कि नब्बे वर्ष बितिसक्दा पनि गणितको बारेमा येलेन्स्कीका शब्दहरूले आफ्नो सान्दर्भिकता गुमाएका छैनन्। गणितले सोच्न सिकाउँछ। यो एक तथ्य हो। के हामी तपाईंलाई फरक, सरल र अझ सुन्दर तरिकाले सोच्न सिकाउन सक्छौं? हुनसक्छ। यो मात्र... हामी अझै सक्दैनौं। म गणित गर्न नचाहने मेरा विद्यार्थीहरूलाई बुझाउँछु कि यो उनीहरूको बुद्धिको परीक्षा पनि हो। यदि तपाइँ साँच्चै सरल गणित सिद्धान्त सिक्न सक्नुहुन्न भने, तब ... सायद तपाइँको मानसिक क्षमता हामी दुबैले चाहेको भन्दा खराब छ ...?

बालुवामा चिन्हहरू

र यहाँ "लाइलावती" मा पहिलो कथा छ - फ्रान्सेली दार्शनिक जोसेफ डे माइस्ट्रे (1753-1821) द्वारा वर्णन गरिएको एक कथा।

भत्किएको जहाजबाट एक नाविकलाई छालहरूले खाली किनारमा फ्याँकियो, जसलाई उसले निर्जन ठान्यो। अचानक, तटीय बालुवामा, उसले कसैको अगाडि कोरिएको ज्यामितीय आकृतिको ट्रेस देख्यो। तब उसले थाहा पायो कि टापु सुनसान छैन!

डे मेस्ट्रीलाई उद्धृत गर्दै, येलेन्स्की लेख्छन्: ज्यामितीय आकृतियो दुर्भाग्यपूर्ण, जहाज भत्किएको, संयोगको लागि मौन अभिव्यक्ति हुन्थ्यो, तर उसले उसलाई एक नजर अनुपात र संख्यामा देखायो, र यसले एक प्रबुद्ध मानिसको घोषणा गर्यो। इतिहासको लागि यति धेरै।

ध्यान दिनुहोस् कि एक नाविकले उस्तै प्रतिक्रिया निम्त्याउनेछ, उदाहरणका लागि, अक्षर K, ... र व्यक्तिको उपस्थितिको कुनै अन्य ट्रेसहरू कोरेर। यहाँ ज्यामितिलाई आदर्श बनाइएको छ।

यद्यपि, खगोलशास्त्री क्यामिल फ्लामरियन (1847-1925) ले प्रस्ताव गरे कि सभ्यताहरूले ज्यामिति प्रयोग गरेर एकअर्कालाई टाढाबाट अभिवादन गर्छन्। उनले यसमा सञ्चारको एक मात्र सही र सम्भावित प्रयास देखे। त्यस्ता मार्टियनहरूलाई पाइथागोरियन त्रिभुजहरू देखाउनुहोस् ... तिनीहरूले हामीलाई थालेससँग जवाफ दिनेछन्, हामी तिनीहरूलाई भिएटा ढाँचामा जवाफ दिनेछौं, तिनीहरूको सर्कल त्रिकोणमा फिट हुनेछ, त्यसैले मित्रता सुरु भयो ...

जुल्स वेर्न र स्टानिस्लाभ लेम जस्ता लेखकहरू यो विचारमा फर्किए। र 1972 मा, पायोनियर प्रोबमा ज्यामितीय (र मात्र होइन) ढाँचाहरू भएका टाइलहरू राखिएको थियो, जसले अझै पनि अन्तरिक्षको विस्तारलाई पार गर्दछ, अहिले हामीबाट लगभग 140 खगोलीय एकाइहरू छन् (1 म पृथ्वीबाट पृथ्वीको औसत दूरी हो)। । सूर्य, अर्थात् लगभग 149 मिलियन किमी)। टाइल डिजाइन गरिएको थियो, आंशिक रूपमा, खगोलविद् फ्रैंक ड्रेक द्वारा, बाह्य सभ्यताहरूको संख्यामा विवादास्पद नियमका निर्माता।

ज्यामिति अचम्मको छ। हामी सबैलाई यस विज्ञानको उत्पत्तिको बारेमा सामान्य दृष्टिकोण थाहा छ। हामी (हामी मानवहरूले) भर्खरै धेरै उपयोगितावादी उद्देश्यका लागि भूमि (र पछि भूमि) नाप्न थालेका छौं। दूरीहरू निर्धारण गर्ने, सीधा रेखाहरू कोर्ने, दायाँ कोणहरू चिन्ह लगाउने र भोल्युमहरू गणना गर्ने बिस्तारै आवश्यकता बन्यो। त्यसैले सबै कुरा ज्यामिति ("पृथ्वीको मापन"), त्यसैले सबै गणित...

यद्यपि, केही समयको लागि विज्ञानको इतिहासको यो स्पष्ट चित्रले हामीलाई बादल बनायो। यदि गणित केवल परिचालन उद्देश्यका लागि आवश्यक थियो भने, हामी साधारण प्रमेयहरू प्रमाणित गर्न व्यस्त हुने थिएनौं। "तपाईँले देख्नुहुन्छ कि यो सबै सत्य हुनुपर्छ," कसैले जाँच गरेपछि भन्नेछ कि धेरै समकोण त्रिकोणहरूमा कर्णको वर्गको योगफल कर्णको वर्ग बराबर हुन्छ। किन यस्तो औपचारिकता ?

प्लम पाई स्वादिष्ट हुनुपर्छ, कम्प्युटर प्रोग्रामले काम गर्नुपर्छ, मेसिनले काम गर्नुपर्छ। यदि मैले ब्यारेलको क्षमता तीस पटक गणना गरें र सबै कुरा व्यवस्थित छ भने, अरू किन?

यस बीचमा, यो पुरातन ग्रीकहरूलाई भयो कि केहि औपचारिक प्रमाणहरू फेला पार्न आवश्यक छ।

त्यसैले, गणित थालेस (625-547 ईसा पूर्व) बाट सुरु हुन्छ। यो माइलटस थियो जसले किन अचम्म गर्न थालेको थियो। स्मार्ट मानिसहरूको लागि यो पर्याप्त छैन कि उनीहरूले केहि देखेका छन्, कि तिनीहरू केहिमा विश्वस्त छन्। तिनीहरूले प्रमाणको आवश्यकता देखे, अनुमानदेखि थीसिससम्म तर्कहरूको तार्किक अनुक्रम।

उनीहरु पनि थप चाहन्थे । यो सायद थेल्स थियो जसले पहिलो पटक ईश्वरीय हस्तक्षेप बिना भौतिक घटनालाई प्राकृतिक तरिकामा व्याख्या गर्ने प्रयास गरेको थियो। युरोपेली दर्शन प्रकृति को दर्शन संग शुरू भयो - पहिले नै भौतिकी पछि के छ (यसैले नाम: मेटाफिजिक्स)। तर युरोपेली ओन्टोलजी र प्राकृतिक दर्शनको जग पाइथागोरस (पाइथागोरस, c. 580-c. 500 BC) द्वारा राखिएको थियो।

उसले एपेनिन प्रायद्वीपको दक्षिणमा क्रोटोनमा आफ्नै विद्यालय स्थापना गर्‍यो - आज हामी यसलाई सम्प्रदाय भन्नेछौं। विज्ञान (शब्दको वर्तमान अर्थमा), रहस्यवाद, धर्म र काल्पनिक सबै नजिकबाट गाँसिएका छन्। थोमस मानले उपन्यास डाक्टर फस्टसमा जर्मन व्यायामशालामा गणितका पाठहरू धेरै सुन्दर रूपमा प्रस्तुत गरेका छन्। मारिया कुरेटस्काया र विटोल्ड विर्पशा द्वारा अनुवादित, यो टुक्रा पढ्छ:

चार्ल्स भ्यान डोरेनको रोचक पुस्तक, द हिस्ट्री अफ नलेज फ्रम द डन अफ हिस्ट्री टु द प्रेजेन्ट डेमा, मैले धेरै रोचक दृष्टिकोण फेला पारे। एक अध्यायमा, लेखकले पाइथागोरियन स्कूलको महत्त्व वर्णन गर्दछ। अध्यायको शीर्षकले मलाई छोयो। यसमा लेखिएको छ: "गणितको आविष्कार: पाइथागोरियन्स"।

हामी प्राय: गणितीय सिद्धान्तहरू पत्ता लगाइँदैछ (जस्तै अज्ञात भूमिहरू) वा आविष्कारहरू (जस्तै पहिले अवस्थित थिएनन् मेसिनहरू) भनेर छलफल गर्छौं। केही रचनात्मक गणितज्ञहरूले आफूलाई शोधकर्ताको रूपमा हेर्छन्, अरूले आविष्कारक वा डिजाइनरहरू, कम प्रायः काउन्टरहरू।

तर यस पुस्तकका लेखकले सामान्य रूपमा गणितको आविष्कारको बारेमा लेख्छन्।

अतिशयोक्ति देखि भ्रम सम्म

यो लामो परिचयात्मक भाग पछि, म सुरुमा जान्छु। ज्यामितिज्यामितिमा अत्यधिक निर्भरताले कसरी वैज्ञानिकलाई बहकाउन सक्छ भनेर वर्णन गर्न। जोहानेस केप्लरलाई भौतिकशास्त्र र खगोल विज्ञानमा खगोलीय पिण्डहरूको गतिका तीन नियमहरूको आविष्कारकको रूपमा चिनिन्छ। पहिलो, सौर्यमण्डलको प्रत्येक ग्रहले सूर्यको वरिपरि अण्डाकार कक्षमा घुम्छ, जसको केन्द्रबिन्दु सूर्य हो। दोस्रो, नियमित अन्तरालहरूमा सूर्यबाट खिचिएको ग्रहको प्रमुख किरणले बराबर क्षेत्रहरू तान्छ। तेस्रो, सौर्यमण्डलका सबै ग्रहहरूको लागि सूर्यको परिक्रमाको अर्ध-प्रमुख अक्षको घन र सूर्यको परिक्रमाको अवधिको वर्गको अनुपात (अर्थात् सूर्यबाट औसत दूरी) स्थिर हुन्छ।

सायद यो तेस्रो नियम थियो - यसलाई स्थापित गर्न धेरै डाटा र गणनाहरू आवश्यक थियो, जसले केप्लरलाई ग्रहहरूको आन्दोलन र स्थितिमा ढाँचाहरू खोज्न जारी राख्न प्रेरित गर्‍यो। उनको नयाँ "खोज" को इतिहास धेरै शिक्षाप्रद छ। पुरातनतादेखि, हामीले नियमित पोलिहेड्राको मात्र प्रशंसा गरेका छैनौं, तर अन्तरिक्षमा ती मध्ये पाँच मात्र छन् भनेर तर्कहरू पनि देखाउँछन्। एक त्रि-आयामी बहुभुजलाई नियमित भनिन्छ यदि यसको अनुहारहरू समान नियमित बहुभुजहरू छन् र प्रत्येक शीर्षमा एउटै संख्याको किनारहरू छन्। उदाहरणका रूपमा, नियमित पोलीहेड्रनको प्रत्येक कुना "उस्तै देखिनु पर्छ"। सबैभन्दा प्रख्यात पोलीहेड्रन क्यूब हो। सबैले सामान्य घुँडा देखेका छन्।

नियमित टेट्राहेड्रन कम ज्ञात छ, र विद्यालयमा यसलाई नियमित त्रिकोणीय पिरामिड भनिन्छ। यो पिरामिड जस्तो देखिन्छ। बाँकी तीन नियमित पोलिहेड्रा कम चिनिन्छन्। जब हामी क्यूबको किनाराहरूको केन्द्रहरू जोड्छौं एक अष्टहेड्रन बनाइन्छ। डोडेकाहेड्रन र आइकोसेड्रोन पहिले नै बल जस्तै देखिन्छन्। नरम छालाबाट बनेको, तिनीहरू खन्न सहज हुनेछन्। पाँचवटा प्लेटोनिक ठोस बाहेक कुनै नियमित पोलिहेड्रा छैन भन्ने तर्क धेरै राम्रो छ। पहिले, हामीले बुझ्छौं कि यदि शरीर नियमित छ भने, उस्तै संख्या (Let q) समान नियमित बहुभुजहरू प्रत्येक vertex मा अभिसरण गर्नुपर्छ, यी p-angles हुन दिनुहोस्। अब हामीले नियमित बहुभुजमा कोण कुन हो भनेर सम्झनु पर्छ। यदि कसैले स्कूलबाट याद गर्दैन भने, हामी तपाईंलाई सही ढाँचा कसरी फेला पार्ने भनेर सम्झाउँछौं। हामीले कुनाको वरिपरि यात्रा गर्यौं। प्रत्येक शीर्षमा हामी एउटै कोणबाट घुम्छौं। जब हामी बहुभुजको वरिपरि जान्छौं र सुरूवात बिन्दुमा फर्कन्छौं, हामीले p त्यस्ता मोडहरू बनाएका छौं, र कुलमा हामी 360 डिग्री घुमेका छौं।

तर α हामीले गणना गर्न चाहेको कोणको 180 डिग्रीको पूरक हो, र त्यसैले हो

हामीले नियमित बहुभुजको कोण (गणितज्ञले भन्नुहुन्छ: कोणको मापन) को सूत्र फेला पारेका छौं। जाँच गरौं: त्रिभुज p = 3 मा, त्यहाँ कुनै a छैन

यो जस्तो। जब p = 4 (वर्ग), तब

डिग्री पनि राम्रो छ।

हामीले पेन्टागनको लागि के पाउँछौं? त्यसोभए के हुन्छ जब त्यहाँ q बहुभुजहरू हुन्छन्, प्रत्येक p सँग समान कोणहरू हुन्छन्

 डिग्री एक शीर्ष मा घट्दै? यदि यो विमानमा भएको भए, त्यसपछि कोण बन्ने थियो

डिग्री र 360 डिग्री भन्दा बढी हुन सक्दैन - किनभने त्यसपछि बहुभुज ओभरल्याप हुन्छ।

यद्यपि, यी बहुभुजहरू अन्तरिक्षमा मिल्ने हुनाले, कोण पूर्ण कोणभन्दा कम हुनुपर्छ।

र यहाँ असमानता छ जसबाट यो सबै पछ्याउँछ:

यसलाई 180 ले भाग गर्नुहोस्, दुबै भागहरूलाई p, अर्डर (p-2) (q-2) < 4 द्वारा गुणन गर्नुहोस्। निम्न के हुन्छ? ध्यान दिनुहोस् कि p र q प्राकृतिक संख्याहरू हुनुपर्दछ र त्यो p > 2 (किन? र p के हो?) र q > 2 पनि। दुई प्राकृतिक संख्याहरूको गुणन 4 भन्दा कम बनाउन धेरै तरिकाहरू छैनन्। हामी ती सबैलाई तालिका १ मा सूचीबद्ध गर्नेछु।

म रेखाचित्रहरू पोस्ट गर्दिन, सबैले इन्टरनेटमा यी तथ्याङ्कहरू देख्न सक्छन् ... इन्टरनेटमा ... म एक गीतात्मक विषयलाई अस्वीकार गर्नेछैन - सायद यो युवा पाठकहरूको लागि रोचक छ। सन् १९७० मा मैले एउटा सेमिनारमा बोलें । विषय अप्ठ्यारो थियो । मसँग तयारी गर्न थोरै समय थियो, म साँझमा बसें। मुख्य लेख पढ्ने ठाउँमा मात्र थियो। ठाउँ आरामदायक थियो, काम गर्ने वातावरणको साथ, ठीक छ, यो सातमा बन्द भयो। त्यसपछि दुलही (अहिले मेरी श्रीमती) आफैले मेरो लागि सम्पूर्ण लेख पुन: लेख्न प्रस्ताव गरे: लगभग एक दर्जन मुद्रित पृष्ठहरू। मैले यसलाई प्रतिलिपि गरें (होइन, कलमले होइन, हामीसँग कलम पनि थियो), व्याख्यान सफल भयो। आज मैले यो प्रकाशन खोज्ने प्रयास गरें, जुन पहिले नै पुरानो छ। मलाई लेखकको नाम मात्र याद छ... इन्टरनेटमा खोजीहरू लामो समयसम्म चल्यो... पूरा पन्ध्र मिनेट। म मुस्कान र थोरै अनुचित पश्चातापको साथ यसको बारेमा सोच्दछु।

हामी फिर्ता जान्छौं केप्लेरा र ज्यामिति। स्पष्ट रूपमा, प्लेटोले पाँचौं नियमित रूपको अस्तित्वको भविष्यवाणी गरे किनभने उनीसँग एकताबद्ध कुराको अभाव थियो, सारा संसारलाई ढाक्छ। सायद त्यही भएर उनले एक छात्रा (Theajtet) लाई उनको खोजी गर्न निर्देशन दिए। यो जस्तो थियो, त्यस्तै थियो, जसको आधारमा डोडेकाहेड्रन पत्ता लगाइएको थियो। यसलाई हामी प्लेटो pantheism को मनोवृत्ति भन्छौं। सबै वैज्ञानिकहरू, न्यूटनसम्म, धेरै वा कम हदसम्म यसको शिकार भए। उच्च तर्कसंगत अठारौं शताब्दीदेखि, यसको प्रभाव एकदमै कम भएको छ, यद्यपि हामी सबैले कुनै न कुनै तरिकाले यसको सामना गर्नुपरेको तथ्यमा हामी लज्जित हुनु हुँदैन।

सौर्यमण्डल निर्माण गर्ने केप्लरको अवधारणामा, सबै कुरा सही थियो, प्रयोगात्मक डेटा सिद्धान्तसँग मेल खायो, सिद्धान्त तार्किक रूपमा सुसंगत थियो, धेरै सुन्दर ... तर पूर्ण रूपमा गलत थियो। उनको समयमा, केवल छ ग्रहहरू ज्ञात थिए: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगल, बृहस्पति र शनि। ६ वटा मात्र ग्रह किन छन् ? केप्लरले सोधे। र कुन नियमितताले सूर्यबाट तिनीहरूको दूरी निर्धारण गर्छ? उसले मान्यो कि सबै कुरा जोडिएको छ, त्यो ज्यामिति र ब्रह्माण्ड एकअर्कासँग घनिष्ठ सम्बन्ध छन्। पुरातन ग्रीकहरूको लेखबाट, उहाँलाई थाहा थियो कि त्यहाँ केवल पाँच नियमित पोलिहेड्रा थिए। उसले छ वटा कक्षाको बीचमा पाँचवटा खाली ठाउँहरू देखे। त्यसोभए यी प्रत्येक खाली ठाउँहरू केही नियमित पोलिहेड्रनसँग मेल खान्छ?

धेरै वर्षको अवलोकन र सैद्धान्तिक कार्य पछि, उनले निम्न सिद्धान्त सिर्जना गरे, जसको मद्दतले उनले कक्षाको आयामहरू एकदम सही रूपमा गणना गरे, जुन उनले 1596 मा प्रकाशित पुस्तक "मिस्टेरियम कोस्मोग्राफिकम" मा प्रस्तुत गरे: एक विशाल क्षेत्रको कल्पना गर्नुहोस्, जसको व्यास सूर्य वरिपरि यसको वार्षिक गतिमा बुधको कक्षाको व्यास हो। त्यसोभए कल्पना गर्नुहोस् कि यस गोलामा एक नियमित अष्टहेड्रन छ, यसमा एउटा गोला, यसमा एउटा आइकोसेहेड्रन, त्यसमा फेरि एउटा गोला, त्यसमा एक डोडेकाहेड्रन, त्यसमा अर्को गोला, त्यसमा एउटा टेट्राहेड्रन, त्यसपछि फेरि एउटा गोला, एक घन। र, अन्तमा, यो घन मा बल वर्णन गरिएको छ।

केप्लरले निष्कर्ष निकाले कि यी क्रमिक क्षेत्रहरूको व्यास अन्य ग्रहहरूको कक्षाको व्यासहरू थिए: बुध, शुक्र, पृथ्वी, मंगल, बृहस्पति र शनि। सिद्धान्त धेरै सहि देखिन्थ्यो। दुर्भाग्यवश, यो प्रयोगात्मक डेटा संग मेल खायो। र प्रयोगात्मक डेटा वा अवलोकन डेटा, विशेष गरी "स्वर्गबाट ​​लिइएको" संग यसको पत्राचार भन्दा गणितीय सिद्धान्तको शुद्धताको के राम्रो प्रमाण छ? म तालिका 2 मा यी गणनाहरू संक्षेप गर्छु। त्यसोभए केप्लरले के गरे? मैले प्रयास गरें र प्रयास गरें जबसम्म यो काम गर्दैन, त्यो हो, जब कन्फिगरेसन (गोलाहरूको क्रम) र परिणाम गणनाहरू अवलोकन डेटासँग मेल खान्छ। यहाँ आधुनिक केप्लर तथ्याङ्क र गणनाहरू छन्:

कसैले सिद्धान्तको मोहमा पर्न सक्छ र विश्वास गर्न सक्छ कि आकाशमा मापन गलत छ, र कार्यशालाको मौनतामा गरिएको गणना होइन। दुर्भाग्यवश, आज हामीलाई थाहा छ कि त्यहाँ कम्तिमा नौ ग्रहहरू छन् र परिणामहरूको सबै संयोगहरू संयोग मात्र हुन्। दु:खको कुरा। यो धेरै सुन्दर थियो ...