रंगीन वर्ग र सूर्यग्रहण

लेखले मध्य विद्यालयका विद्यार्थीहरू - राष्ट्रिय बाल कोषका छात्रवृत्ति धारकहरूका लागि मेरो कक्षाहरू वर्णन गर्दछ। फाउन्डेसनले विशेष गरी प्रतिभाशाली बालबालिका र युवाहरू (प्राथमिक विद्यालयको कक्षा XNUMX देखि हाई स्कूलसम्म) खोज्छ र चयन गरिएका विद्यार्थीहरूलाई "छात्रवृत्ति" प्रदान गर्दछ। जे होस्, तिनीहरू नगद निकाल्नमा समावेश गर्दैनन्, तर प्रतिभाको विकासको लागि व्यापक हेरचाहमा, नियमको रूपमा, धेरै वर्षहरूमा। यस प्रकारका अन्य धेरै परियोजनाहरूको विपरीत, प्रसिद्ध वैज्ञानिकहरू, सांस्कृतिक व्यक्तित्वहरू, प्रमुख मानवतावादीहरू र अन्य ज्ञानी व्यक्तिहरू, साथै केही राजनीतिज्ञहरूले फाउन्डेशनका वार्डहरूलाई गम्भीरताका साथ लिन्छन्।

फाउन्डेसनका गतिविधिहरू कला सहित खेलकुद बाहेक आधारभूत विद्यालयका विषयहरू भएका सबै विषयहरूमा विस्तार हुन्छन्। कोष 1983 मा तत्कालीन वास्तविकता को लागी एक antidote को रूप मा सिर्जना गरिएको थियो। जो कोहीले पनि कोषमा आवेदन दिन सक्छ (सामान्यतया विद्यालय मार्फत, अधिमानतः विद्यालय वर्षको अन्त्य हुनु अघि), तर, निस्सन्देह, त्यहाँ एक निश्चित चलनी, एक निश्चित योग्यता प्रक्रिया छ।

मैले पहिले नै उल्लेख गरिसकेको छु, लेख मेरो मास्टर कक्षाहरूमा आधारित छ, विशेष गरी Gdynia मा, मार्च 2016 मा, III हाई स्कूलको 24 औं जुनियर हाई स्कूलमा। नौसेना। धेरै वर्षदेखि, यी सेमिनारहरू असाधारण करिश्मा र उच्च बौद्धिक स्तरका शिक्षक Wojciech Thomalczyk द्वारा फाउन्डेसनको सहयोगमा आयोजना गर्दै आएका छन्। 2008 मा, उनले पोल्याण्डमा शीर्ष दसमा प्रवेश गरे, जसलाई पेडागोजीको प्रोफेसरको उपाधि दिइएको थियो (धेरै वर्ष पहिले कानून द्वारा प्रदान गरिएको)। "शिक्षा संसारको अक्ष हो" भनाइमा थोरै अतिशयोक्ति छ।

र चन्द्रमा सधैं मनमोहक हुन्छन् - त्यसोभए तपाईले महसुस गर्न सक्नुहुन्छ कि हामी एउटा सानो ग्रहमा विशाल ठाउँमा बस्छौं, जहाँ सबै चीज गतिमा छ, सेन्टिमिटर र सेकेन्डमा नापिन्छ। यसले मलाई थोरै डराउँछ, समयको परिप्रेक्ष्य पनि। हामी जान्दछौं कि अर्को पूर्ण ग्रहण, आजको वार्सा क्षेत्रबाट देखिने, 2681 मा हुनेछ। मलाई अचम्म लाग्यो कसले देख्ने ? हाम्रो आकाशमा सूर्य र चन्द्रमाको स्पष्ट आकार लगभग उस्तै छ - त्यसैले ग्रहणहरू यति छोटो र धेरै शानदार हुन्छन्। शताब्दीयौंदेखि, ती छोटो मिनेटहरू खगोलविद्हरूका लागि सौर्य कोरोना हेर्न पर्याप्त हुनुपर्छ। यो अनौठो छ कि तिनीहरू वर्षमा दुई पटक हुन्छन् ... तर यसको मतलब यो मात्र हो कि पृथ्वीमा कतै तिनीहरू छोटो अवधिको लागि देख्न सकिन्छ। ज्वारीय आन्दोलनको परिणामको रूपमा, चन्द्रमा पृथ्वीबाट टाढा जाँदैछ - 260 मिलियन वर्षमा यो यति टाढा हुनेछ कि हामी (हामी ???) केवल वलय ग्रहणहरू देख्नेछौं।

स्पष्ट रूपमा भविष्यवाणी गर्ने पहिलो ग्रहणमिलेटसका थेल्स (२८-५८५ शताब्दी ईसापूर्व) थिए। हामी सायद यो वास्तवमा भयो कि भनेर थाहा पाउनेछैनौं, अर्थात्, उसले भविष्यवाणी गरेको थियो कि छैन, किनकि एशिया माइनरमा ग्रहण मे 28, 585 ईसा पूर्वमा भएको तथ्य आधुनिक गणनाले पुष्टि गरेको तथ्य हो। अवश्य पनि, म आजको समयको खाताको लागि डाटा उद्धृत गर्दछु। जब म सानो थिएँ, मैले कल्पना गरें कि मानिसहरूले कसरी वर्षहरू गन्छन्। त्यसोभए यो हो, उदाहरणका लागि, 567 ईसा पूर्व, नयाँ वर्षको पूर्वसन्ध्या आउँदैछ र मानिसहरू रमाइलो गर्दैछन्: केवल 566 वर्ष ईसा पूर्व! अन्ततः “हाम्रो युग” आइपुग्दा तिनीहरू कत्ति खुसी भए होलान्‌! हामीले केही वर्षअघि अनुभव गरेको सहस्राब्दीको कस्तो मोड!

मिति र दायराहरू गणना गर्ने गणित ग्रहण, विशेष गरी जटिल छैन, तर नियमिततासँग सम्बन्धित सबै प्रकारका कारकहरूले भरिएको छ र अझ खराब, कक्षामा शरीरको असमान आन्दोलनको साथ। म यो गणित पनि जान्न चाहन्छु। मिलेटसका थेल्सले आवश्यक गणना कसरी गर्न सक्थे? जवाफ सरल छ। तपाईंसँग आकाशको नक्सा हुनुपर्छ। यस्तो नक्सा कसरी बनाउने? यो पनि गाह्रो छैन, पुरातन मिश्रीहरूलाई यो कसरी गर्ने थाहा थियो। मध्यरातमा, दुई पुजारीहरू मन्दिरको छतमा बाहिर निस्कन्छन्। तिनीहरूमध्ये प्रत्येक बस्छ र उसले देखेको कुरा कोर्छ (आफ्नो सहकर्मी जस्तै)। दुई हजार वर्ष पछि, हामीलाई ग्रहहरूको चालको बारेमा सबै थाहा छ ...

सुन्दर ज्यामिति, वा "रग" मा रमाइलो

ग्रीकहरूले संख्याहरू मन पराउँदैनन्, तिनीहरूले ज्यामितिको सहारा लिए। यो हामीले गर्ने हो। हाम्रो ग्रहण तिनीहरू सरल, रंगीन, तर रोचक र वास्तविक हुनेछन्। हामी यो मान्यतालाई स्वीकार गर्छौं कि नीलो फिगर यस्तो तरिकाले सर्छ कि यसले रातोलाई ग्रहण गर्छ। नीलो फिगरलाई चन्द्रमा र रातो फिगरलाई सूर्य भनौं। हामी आफैलाई निम्न प्रश्नहरू सोध्छौं:

1. ग्रहण कति लामो हुन्छ;
2. जब लक्ष्यको आधा कभर हुन्छ;

   चामल। 1 बहु-रंगको "कार्पेट" सूर्य र चन्द्रमा संग

3. अधिकतम कवरेज के हो;
4. यो समय मा ढाल कवरेज को निर्भरता विश्लेषण गर्न सम्भव छ? यस लेखमा (म पाठको मात्रा द्वारा सीमित छु) म दोस्रो प्रश्नमा ध्यान केन्द्रित गर्नेछु। यसको पछाडि एक राम्रो ज्यामिति छ, सायद बोरिंग गणना बिना। अंजीर हेरौं। 1. यो सूर्यग्रहण ... संग सम्बन्धित हुनेछ भनेर मान्न सकिन्छ?

मैले इमानदारीपूर्वक भन्नु पर्छ कि मैले छलफल गर्ने कार्यहरू विशेष रूपमा छनोट गरिनेछ, माध्यमिक र उच्च माध्यमिक विद्यालयका विद्यार्थीहरूको ज्ञान र सीपहरूमा अनुकूलित हुनेछ। तर हामी संगीतकारहरूले स्केल बजाउने र एथलीटहरूले सामान्य विकासात्मक अभ्यास गर्ने जस्ता कार्यहरूमा तालिम दिन्छौं। यसबाहेक, के यो एउटा सुन्दर गलीचा मात्र होइन (चित्र १)?

चामल। 2 "नीलो" चन्द्रमा र "रातो" सूर्य

हाम्रो आकाशीय पिण्डहरू, कम्तिमा सुरुमा, रंगीन वर्गहरू हुनेछन्। चन्द्रमा नीलो छ, सूर्य रातो छ (रंगको लागि उत्तम)। वर्तमान संग ग्रहण चन्द्रमाले सूर्यलाई आकाशमा पछ्याउँछ, समात्छ ... र बन्द गर्दछ। हामीसँग पनि त्यस्तै हुनेछ। सबैभन्दा सरल अवस्था, जब चन्द्रमा सूर्यको सापेक्ष सर्छ, चित्रमा देखाइएको छ। 2. चन्द्रमाको डिस्कको किनाराले सूर्यको डिस्क (चित्र २) को छेउमा छोएपछि ग्रहण सुरु हुन्छ र त्यसभन्दा पर पुग्दा समाप्त हुन्छ।

चामल। 3 चन्द्रमा सूर्यको छेउमा आइपुग्छ

हामी मान्दछौं कि "चन्द्रमा" ले समयको प्रति एकाइ एक सेल सार्छ, उदाहरणका लागि, प्रति मिनेट। त्यसपछि ग्रहण समयको आठ एकाइ रहन्छ, मिनेट भन्नुहोस्। आधा सूर्यग्रहणहरू पूर्ण रूपमा मधुरो डायलको आधा दुई पटक बन्द हुन्छ: २ र ६ मिनेट पछि। प्रतिशत अस्पष्ट ग्राफ सरल छ। पहिलो दुई मिनेटमा, ढाल शून्य देखि 2 को दरमा समान रूपमा बन्द हुन्छ, अर्को दुई मिनेटमा यो समान दरमा उजागर हुन्छ।

यहाँ एउटा थप रोचक उदाहरण छ (चित्र 3)। चन्द्रमा सूर्यको तिरछे नजिक पुग्छ। हाम्रो प्रति मिनेट भुक्तानी सम्झौता अनुसार, ग्रहण 8√ सम्म रहन्छ2 मिनेट - यस समयको बीचमा हामीसँग पूर्ण ग्रहण छ। समय t (चित्र 3) पछि सूर्यको कुन भाग ढाकिएको छ भनेर गणना गरौं। यदि ग्रहण सुरु भएदेखि t मिनेट बितिसकेको छ, र परिणाम स्वरूप चन्द्रमा चित्रमा देखाइएको छ। 5, त्यसपछि (ध्यान दिनुहोस्!) त्यसैले, यो कभर गरिएको छ (वर्ग APQR को क्षेत्र), आधा सौर डिस्क बराबर; त्यसैले, यो कभर गरिएको थियो जब, i.e. 4 मिनेट पछि (तब ग्रहण समाप्त हुनु अघि 4 मिनेट)।

चामल। 4 "छायांकन" प्रकार्यको ग्राफ

समग्रता एक क्षण टिक्छ (t = 4√2), र "छाया गरिएको भाग" प्रकार्यको ग्राफमा पाराबोलाका दुई आर्कहरू हुन्छन् (चित्र 4)।

हाम्रो नीलो चन्द्रमाले रातो सूर्यको साथ कुनामा छुनेछ, तर यसले यसलाई छोप्नेछ, विकर्ण होइन, तर थोरै विकर्ण रूपमा। जब हामीले आन्दोलनलाई थोरै जटिल बनायौं भने रोचक ज्यामिति देखा पर्दछ (चित्र 6)। आन्दोलनको दिशा अब भेक्टर [4,3] हो, अर्थात्, "चार कक्षहरू दायाँतिर, तीन कक्षहरू माथि।" सूर्यको स्थिति यस्तो छ कि ग्रहण सुरु हुन्छ (स्थिति A) जब "खगोलीय पिण्डहरू" को पक्षहरू तिनीहरूको लम्बाइको एक चौथाईमा मिल्छ। जब चन्द्रमा B स्थितिमा जान्छ, यसले सूर्यको छैटौं भागमा ग्रहण गर्नेछ, र C स्थितिमा यसले आधा ग्रहण गर्नेछ। स्थिति D मा, हामीसँग पूर्ण ग्रहण छ, र त्यसपछि सबै कुरा फिर्ता जान्छ, "जस्तै थियो।"

चामल। सूर्यको 5 भाग समय समयमा लुकेको छ

चन्द्रमा G स्थितिमा हुँदा ग्रहण समाप्त हुन्छ। यो लामो समय सम्म रह्यो खण्ड लम्बाइ AG। यदि, पहिले जस्तै, हामीले चन्द्रमा "एक वर्ग" पार गर्ने समयलाई समयको एकाइको रूपमा लिन्छौं, त्यसपछि AG को लम्बाइ बराबर हुन्छ। यदि हामी पुरानो कन्भेन्सनमा फर्क्यौं कि हाम्रो आकाशीय पिण्डहरू 4 बाइ 4 छन्, परिणाम फरक हुनेछ (के?)। देखाउन सजिलो भएकोले, लक्ष्य t <15 पछि बन्द हुन्छ। "स्क्रिन कभरेजको प्रतिशत" प्रकार्यको ग्राफ चित्रमा देख्न सकिन्छ। ६।

चामल। 6 "प्रतिशत सुरक्षा" प्रकार्य को ग्राफ

ग्रहण र जम्प समीकरण

चामल। 7 अंजीर मा देखाइएको ग्रहण समयमा सौर डिस्क को अवरोध। ६

यदि हामीले सर्कलको मामलालाई ध्यान दिएनौं भने ग्रहणको समस्या अपूर्ण हुनेछ। यो धेरै जटिल छ, तर एउटा सर्कलले अर्को सर्कलको आधा भागलाई ग्रहण गर्दा पत्ता लगाउने प्रयास गरौं - र सरल अवस्थामा, जब तिनीहरूमध्ये एउटाले ती दुवैलाई जोड्ने व्यासमा सर्छ। रेखाचित्र केही क्रेडिट कार्ड धारकहरूलाई परिचित छ।

क्षेत्रहरूको स्थिति गणना गर्न जटिल छ, किनकि यसको लागि आवश्यक छ, पहिलो, गोलाकार खण्डको क्षेत्रफलको लागि सूत्रको ज्ञान, दोस्रो, कोणको चापको ज्ञान, र तेस्रो (र सबै भन्दा खराब), क्षमता। एक निश्चित जम्प समीकरण समाधान गर्न। म "संक्रामक समीकरण" भनेको के हो भनेर व्याख्या गर्दिन, एउटा उदाहरण हेरौं (चित्र 8)।

चामल। 8 "गोलाकार" ग्रहण

गोलाकार खण्ड भनेको "कचौरा" हो जुन सीधा रेखाको साथ सर्कल काटेर बाँकी रहन्छ। यस्तो खण्डको क्षेत्रफल S = 1/2r हो²(φ-sinφ), जहाँ r वृत्तको त्रिज्या हो, र φ केन्द्रीय कोण हो जसमा खण्ड रहन्छ (चित्र 8)। गोलाकार क्षेत्रको क्षेत्रबाट त्रिभुजको क्षेत्रफल घटाएर यो सजिलै प्राप्त हुन्छ।

एपिसोड ओ₁O₂ (वृत्तका केन्द्रहरू बीचको दूरी) त्यसपछि 2rcosφ/2 बराबर हुन्छ, र उचाइ (चौडाइ, "कमर") h = 2rsinφ/2। त्यसोभए, यदि हामी गणना गर्न चाहन्छौं कि चन्द्रमाले सौर्य डिस्कको आधा भाग कभर गर्नेछ, हामीले यो समीकरण समाधान गर्न आवश्यक छ: जुन, सरलीकरण पछि, बन्छ:

चामल। दुई कार्यहरूको 9 ग्राफहरू

त्यस्ता समीकरणहरूको समाधान साधारण बीजगणितभन्दा बाहिर जान्छ - समीकरणमा दुवै कोण र तिनीहरूको त्रिकोणमितीय कार्यहरू समावेश हुन्छन्। समीकरण परम्परागत विधिहरूको पहुँच बाहिर छ। त्यसैले भनिएको हो उफ्रिनु। पहिले दुवै प्रकार्यहरू, अर्थात् कार्यहरू र प्रकार्यहरूको ग्राफहरू हेरौं। हामी यस चित्रबाट अनुमानित समाधान पढ्न सक्छौं। यद्यपि, हामीले पुनरावृत्ति अनुमान प्राप्त गर्न सक्छौं वा... एक्सेल स्प्रेडसिटमा सोल्भर विकल्प प्रयोग गर्नुहोस्। प्रत्येक हाई स्कूल विद्यार्थीले यो गर्न सक्षम हुनुपर्दछ, किनकि यो 20 औं शताब्दी हो। मैले थप परिष्कृत गणित उपकरण प्रयोग गरें र यहाँ अनावश्यक परिशुद्धताको XNUMX दशमलव स्थानहरूको साथ हाम्रो समाधान छ:

सेट प्रेसिजन[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

चामल। 10 माटेमेटिकामा ग्रहणको एनिमेसन

हामी यसलाई 180/π ले गुणन गरेर डिग्रीमा बदल्छौं। हामीले 132 डिग्री, 20 मिनेट, 45 र एक चाप सेकेन्डको एक चौथाई पाउँछौं। हामी गणना गर्छौं कि वृत्तको केन्द्रको दूरी O हो₁O₂ = 0,808 त्रिज्या, र "कमर" 2,310।