गणितको अवास्तविक संसारमा यात्रा

मैले यो लेख कम्प्युटर विज्ञानको कलेजमा व्याख्यान र अभ्यास पछि एउटा वातावरणमा लेखेको थिएँ। म यस विद्यालयका विद्यार्थीहरूको आलोचना, तिनीहरूको ज्ञान, विज्ञानप्रतिको दृष्टिकोण र सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण कुरा, तिनीहरूको शिक्षण सीपको विरुद्धमा आफ्नो रक्षा गर्छु। यो... कसैले सिकाउँदैन।

म किन यति रक्षात्मक छु? एउटा साधारण कारणको लागि - म त्यो उमेरमा छु जब, सम्भवतः, हाम्रो वरपरको संसार अझै बुझिएको छैन। हुनसक्छ म तिनीहरूलाई घोडाहरू प्रयोग गर्न र बेवास्ता गर्न सिकाउँदैछु, र कार चलाउन होइन? सायद म तिनीहरूलाई कलमले लेख्न सिकाउँछु? यद्यपि मसँग एक व्यक्तिको राम्रो विचार छ, म आफूलाई "अनुसरण" मान्छु, तर...

भर्खरै सम्म, हाई स्कूलमा, तिनीहरूले जटिल संख्याहरूको बारेमा कुरा गर्थे। र यो बुधबार थियो कि म घर आएँ, छोडें - लगभग कुनै पनि विद्यार्थीले यो के हो र यी नम्बरहरू कसरी प्रयोग गर्ने भनेर अझै सिकेका छैनन्। कोही-कोही सबै गणितलाई चित्रित ढोकामा हंसले हेर्छन्। तर म पनि साँच्चै छक्क परें जब उनीहरूले मलाई कसरी सिक्ने भनेर बताए। सरल भाषामा भन्नुपर्दा, व्याख्यानको प्रत्येक घण्टा दुई घण्टाको गृहकार्य हो: पाठ्यपुस्तक पढ्ने, दिइएको विषयमा समस्याहरू कसरी समाधान गर्ने भनेर सिक्ने, आदि। यस तरिकाले तयारी गरेर, हामी अभ्यासमा आउँछौं, जहाँ हामी सबै कुरा सुधार गर्छौं ... रमाइलो रूपमा, विद्यार्थीहरूले स्पष्ट रूपमा सोचे कि व्याख्यानमा बसेर - प्राय: सञ्झ्याल बाहिर हेर्दै - पहिले नै टाउकोमा ज्ञानको प्रवेशको ग्यारेन्टी गर्दछ।

रोक! यत्ति भए पुग्छ। म राष्ट्रिय बाल कोष, देशभरका प्रतिभाशाली बालबालिकाहरूलाई समर्थन गर्ने संस्थाबाट साथीहरूसँग कक्षाको क्रममा प्राप्त गरेको प्रश्नको जवाफ दिनेछु। प्रश्न (वा बरु सुझाव) थियो:

- के तपाई हामीलाई अवास्तविक संख्याहरूको बारेमा केही बताउन सक्नुहुन्छ?

"अवश्य पनि," मैले जवाफ दिए। 

संख्याको वास्तविकता

पाइथागोरसले भने, "मित्र भनेको अर्को म हो, मित्रता भनेको संख्या 220 र 284 को अनुपात हो।" यहाँको बिन्दु यो हो कि 220 को भाजकहरूको योगफल 284 हो, र 284 को भाजकहरूको योगफल 220 हो:

१ + ० + ० + ० + २ = 1

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

संख्या 220 र 284 बीचको अर्को रोचक संयोग यो हो: सत्रह उच्च अभाज्य संख्याहरू 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , र ५९।

तिनीहरूको योगफल 2x220 हो, र वर्गहरूको योगफल 59x284 हो।

पहिले। "वास्तविक संख्या" को कुनै अवधारणा छैन। हात्तीको बारेमा लेख पढेपछि तपाईले सोध्नुहुन्छ, "अब हामी गैर-हात्तीहरू सोध्न जाँदैछौं।" त्यहाँ पूर्ण र गैर-पूर्ण, तर्कसंगत र तर्कहीन छन्, तर त्यहाँ कुनै अवास्तविक छैन। विशेष गरी: वास्तविक नभएका संख्याहरूलाई अमान्य भनिँदैन। त्यहाँ गणितमा धेरै प्रकारका "संख्याहरू" छन्, र तिनीहरू एकअर्काबाट भिन्न छन्, जस्तै - एक प्राणी तुलना लिन - एक हात्ती र एक गँड्यौला।

दोस्रो, हामी अपरेसनहरू प्रदर्शन गर्नेछौं जुन तपाईंलाई पहिले नै निषेधित छ भनेर थाहा छ: ऋणात्मक संख्याहरूबाट वर्गमूल लिने। ठीक छ, गणितले त्यस्ता अवरोधहरू पार गर्नेछ। यद्यपि यसको अर्थ छ? गणितमा, कुनै पनि अन्य विज्ञानमा जस्तै, कुनै सिद्धान्त ज्ञानको भण्डारमा सदाको लागि प्रवेश गर्छ कि गर्दैन भन्ने कुरा यसको प्रयोगमा निर्भर गर्दछ। यदि यो बेकार छ भने, त्यो रद्दीटोकरीमा समाप्त हुन्छ, त्यसपछि ज्ञानको इतिहासको कुनै फोहोरमा। यस लेखको अन्त्यमा मैले बोलेको संख्याहरू बिना, गणित विकास गर्न असम्भव छ। तर केहि साना कुराहरु संग सुरु गरौं। वास्तविक संख्या के हो, तपाईलाई थाहा छ। तिनीहरूले सङ्ख्या रेखालाई घना र खाली ठाउँहरू बिना भर्छन्। तपाईलाई यो पनि थाहा छ कि प्राकृतिक संख्याहरू के हुन्: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - तिनीहरू सबै फिट हुनेछैनन्। स्मृति पनि सबैभन्दा ठूलो। तिनीहरूको पनि एक सुन्दर नाम छ: प्राकृतिक। तिनीहरूसँग धेरै रोचक गुणहरू छन्। तपाईलाई यो कस्तो लाग्छ:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

"प्राकृतिक संख्याहरूमा चासो हुनु स्वाभाविक हो," कार्ल लिन्डनहोमले भने, र लियोपोल्ड क्रोनेकर (१८२३-१८९१) ले यसलाई संक्षिप्त रूपमा भने: "परमेश्वरले प्राकृतिक संख्याहरू सृष्टि गर्नुभयो - अरू सबै मानिसको काम हो!" भिन्नहरू (गणितज्ञहरूले तर्कसंगत संख्याहरू भनिन्छ) सँग पनि अद्भुत गुणहरू छन्:

र समानतामा:

तपाईले, बायाँ तर्फबाट सुरु गरेर, प्लसहरू रगाउन सक्नुहुन्छ र तिनीहरूलाई गुणन चिन्हहरूसँग बदल्न सक्नुहुन्छ - र समानता सत्य रहनेछ:

र त्यसमा।

तपाईलाई थाहा छ, भिन्नहरू a / b को लागि, जहाँ a र b पूर्णांकहरू हुन्, र b ≠ 0, तिनीहरू भन्छन् तर्कसंगत संख्या। तर पोलिशमा मात्र उनीहरूले आफूलाई त्यो बोलाउँछन्। तिनीहरू अंग्रेजी, फ्रेन्च, जर्मन र रूसी बोल्छन्। तर्कसंगत संख्या। अंग्रेजीमा: तर्कसंगत संख्याहरू। तर्कहीन संख्या यो तर्कहीन, तर्कहीन छ। हामी तर्कहीन सिद्धान्तहरू, विचारहरू र कार्यहरूको बारेमा पोलिश बोल्छौं - यो पागलपन, काल्पनिक, अकल्पनीय छ। महिलाहरू मुसादेखि डराउँछन् भन्छन् - यो यति तर्कहीन छैन?

पुरातन समयमा, संख्या एक आत्मा थियो। प्रत्येकको अर्थ केही न केही थियो, प्रत्येकले केही न केही प्रतीक, प्रत्येकले ब्रह्माण्डको त्यो सामंजस्यको कणलाई प्रतिबिम्बित गर्दछ, त्यो हो, ग्रीकमा, ब्रह्माण्ड। "ब्रह्माण्ड" शब्दको अर्थ ठ्याक्कै "अर्डर, अर्डर" हो। सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण छ (पूर्ण संख्या) र दस थिए, क्रमिक संख्याहरू 1 + 2 + 3 + 4 को योग, अन्य संख्याहरू मिलेर बनेको छ, जसको प्रतीकवाद आजसम्म जीवित छ। त्यसैले पाइथागोरसले सिकाए कि संख्याहरू सबै चीजको सुरुवात र स्रोत हुन्, र केवल खोज अपरिमेय संख्याहरू पाइथागोरस आन्दोलनलाई ज्यामितितर्फ मोडियो। हामीलाई स्कूलबाट तर्क थाहा छ

√2 अपरिमेय संख्या हो

मानौं कि त्यहाँ छ: र यो अंश घटाउन सकिँदैन। विशेष गरी, p र q दुवै विषम छन्। स्क्वायर गरौं: 2 क्यू²=p²। संख्या p बिजोर हुन सक्दैन, त्यसपछि p² पनि हुनेछ, र समानताको बायाँ छेउ २ को गुणनफल हो। त्यसैले, p सम हो, अर्थात्, p = 2r, त्यसैले p²= 4r²। हामी समीकरण 2q घटाउँछौं²= 4r² 2 द्वारा। हामीले q पाउँछौं²= 2r² र हामी देख्छौं कि q पनि समान हुनुपर्छ, जुन हामीले मानेका थियौं। परिणामस्वरूप विरोधाभासले प्रमाण पूरा गर्दछ - यो सूत्र प्रायः हरेक गणितीय पुस्तकमा पाउन सकिन्छ। यो परिस्थितिजन्य प्रमाण सोफिस्टहरूको मनपर्ने चाल हो।

यो विशालता पाइथागोरियनहरूले बुझ्न सकेनन्। सबै चीजहरू संख्याहरूद्वारा वर्णन गर्न सक्षम हुनुपर्दछ, र वर्गको विकर्ण, जुन बालुवामा छडीले कोर्न सक्छ, कुनै छैन, अर्थात्, मापनयोग्य, लम्बाइ। "हाम्रो विश्वास व्यर्थ थियो," पाइथागोरियनहरूले भनेजस्तो देखिन्छ। कसरी? यो एक प्रकारको ... तर्कहीन छ। संघले साम्प्रदायिक तरिकाले आफूलाई बचाउन खोज्यो। आफ्नो अस्तित्व प्रकट गर्ने हिम्मत गर्ने जो कोही अपरिमेय संख्याहरू, मृत्युद्वारा दण्डित हुनु पर्ने थियो, र, स्पष्ट रूपमा, पहिलो सजाय मास्टर आफैले गरेको थियो।

तर "विचार असुरक्षित पार भयो।" स्वर्ण युग आयो। ग्रीकहरूले पर्शियनहरूलाई पराजित गरे (म्याराथन 490, ब्लक 479)। प्रजातन्त्र बलियो भयो, दार्शनिक विचारका नयाँ केन्द्रहरू र नयाँ विद्यालयहरू खडा भयो। पाइथागोरियनहरू अझै पनि अपरिमेय संख्याहरूसँग संघर्ष गरिरहेका थिए। कतिपयले प्रचार गरे: हामी यो रहस्य बुझ्न सक्दैनौं; हामी केवल यसलाई मनन गर्न सक्छौं र Uncharted को प्रशंसा गर्न सक्छौं। पछिल्लाहरू अधिक व्यावहारिक थिए र रहस्यलाई आदर गरेनन्। त्यस समयमा, दुई मानसिक संरचनाहरू देखा पर्यो जसले अपरिमेय संख्याहरू बुझ्न सम्भव बनायो। आज हामीले यिनलाई राम्ररी बुझेको तथ्य इउडोक्सस (XNUMX औं शताब्दी ईसापूर्व) को हो, र यो XNUMX औं शताब्दीको अन्त्यमा मात्र जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिन्डले युडोक्ससको सिद्धान्तलाई कठोर आवश्यकताहरू अनुरूप उचित विकास दिए। गणितीय तर्क।

तथ्याङ्क वा यातनाको मास

के तपाईं संख्या बिना बाँच्न सक्नुहुन्छ? जीवन कस्तो हुन्छ भने पनि... हामीले पहिले खुट्टाको लम्बाइ नाप्ने जुत्ता लिएर जुत्ता किन्न पसलमा जानुपर्छ। "म स्याउ चाहन्छु, आह, यो यहाँ छ!" - हामी बजारमा विक्रेताहरू देखाउनेछौं। "मोडलिन देखि Nowy Dwur Mazowiecki सम्म कति टाढा छ"? "धेरै नजिक!"

संख्याहरू मापन गर्न प्रयोग गरिन्छ। तिनीहरूको सहयोगमा, हामी धेरै अन्य अवधारणाहरू पनि व्यक्त गर्दछौं। उदाहरणका लागि, नक्साको स्केलले देशको क्षेत्रफल कति घटेको देखाउँछ। दुई-देखि-एक स्केल, वा केवल 2, तथ्यलाई व्यक्त गर्दछ कि केहि आकारमा दोब्बर भएको छ। गणितीय रूपमा भनौं: प्रत्येक एकरूपता संख्यासँग मेल खान्छ - यसको स्केल।

कार्य। हामीले जेरोग्राफिक प्रतिलिपि बनायौं, छविलाई धेरै पटक म्याग्निफाइ गर्दै। त्यसपछि विस्तारित टुक्रा फेरि b पटक बढाइएको थियो। सामान्य म्याग्निफिकेसन स्केल के हो? उत्तर: a × b लाई b द्वारा गुणा गरियो। यी स्केलहरू गुणा गर्न आवश्यक छ। "माइनस वन" नम्बर, -१, एक परिशुद्धतासँग मेल खान्छ जुन केन्द्रमा छ, अर्थात् 1 डिग्री घुमाइएको छ। कुन संख्याले 180 डिग्री घुमाउँछ? त्यस्तो नम्बर छैन। यो छ, यो छ ... वा बरु, यो चाँडै हुनेछ। के तपाईं नैतिक यातनाको लागि तयार हुनुहुन्छ? साहस गर्नुहोस् र माइनस वन को वर्गमूल लिनुहोस्। म सुन्दै छु? तपाईं के गर्न सक्नुहुन्न? आखिर, मैले तिमीलाई साहसी हुन भनें। यसलाई बाहिर तान्नुहोस्! हे, ठीक छ, तान्नुहोस्, तान्नुहोस्... म मद्दत गर्छु... यहाँ: -90 अब हामीसँग यो छ, यसलाई प्रयोग गर्ने प्रयास गरौं... अवश्य पनि, अब हामी सबै ऋणात्मक संख्याहरूको जरा निकाल्न सक्छौं। उदाहरण:

√-4 = १.२√-1,-16 = १.२√-1

"मानसिक पीडाको बावजुद यसले समावेश गर्दछ।" जिरोलामो कार्डानोले 1539 मा लेखेका मानसिक कठिनाइहरू हटाउन प्रयास गर्दै - जसलाई चाँडै भनिन्छ - काल्पनिक मात्रा। उनले यी कुरालाई विचार...

...कार्य। 10 लाई दुई भागमा विभाजन गर्नुहोस्, जसको उत्पादन 40 हो। मलाई याद छ कि अघिल्लो एपिसोडबाट उनले यस्तो लेखेका थिए: निश्चित रूपमा असम्भव। जे होस्, यो गरौं: 10 लाई दुई बराबर भागहरूमा विभाजन गर्नुहोस्, प्रत्येक 5 को बराबर। तिनीहरूलाई गुणा गर्नुहोस् - यो 25 भयो। परिणाम 25 बाट, अब 40 घटाउनुहोस्, यदि तपाई चाहनुहुन्छ भने, र तपाईले -15 पाउनुहुन्छ। अब हेर्नुहोस्: √-15 थप्दा र 5 बाट घटाउँदा 40 को गुणन हुन्छ। यी संख्याहरू 5-√-15 र 5 + √-15 हुन्। नतिजाको प्रमाणिकरण निम्नानुसार Cardano द्वारा गरिएको थियो:

"मनको पीडा जस्तोसुकै भए पनि, 5 + √-15 लाई 5-√-15 ले गुणन गर्नुहोस्। हामीले 25 - (-15) पाउँछौं, जुन 25 + 15 को बराबर हुन्छ। त्यसैले, उत्पादन 40... यो साँच्चै गाह्रो छ।"

खैर, कति छ: (1 + √-1) (1-√-1)? गुणन गरौं। याद गर्नुहोस् कि √-1 × √-1 = -1। महान। अब अझ कठिन कार्य: a + b√-1 देखि ab√-1 सम्म। के भयो? निश्चित रूपमा, यो जस्तै: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

यस बारे के रोचक छ? उदाहरणका लागि, हामीले "पहिले थाहा थिएन।" को लागि संक्षिप्त गुणन सूत्र²-b² को लागि सूत्र याद छ²+b² यो थिएन, किनभने यो हुन सक्दैन। वास्तविक संख्याहरूको डोमेनमा, बहुपद²+b² यो अपरिहार्य छ। i अक्षरको साथ "माइनस वन" को "हाम्रो" वर्गमूललाई ​​बुझाउनुहोस्।²= -१। यो एक "अवास्तविक" प्रमुख संख्या हो। र त्यो भनेको हवाइजहाजको 1 डिग्री घुमाउरो वर्णन गर्दछ। किन? जे भएपनि,²= -1, र एउटा 90-डिग्री रोटेशन र अर्को 180-डिग्री रोटेशन संयोजन गर्दा 45-डिग्री रोटेशन दिन्छ। कस्तो प्रकारको घुमाउरो वर्णन गरिँदै छ? स्पष्ट रूपमा XNUMX डिग्री मोड। -i को मतलब के हो? यो अलि बढी जटिल छ:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

त्यसोभए -i ले 90 डिग्री रोटेशनलाई पनि वर्णन गर्दछ, i को रोटेशनको ठीक विपरीत दिशामा। कुन बायाँ र कुन सही? तपाईंले अपोइन्टमेन्ट लिनुपर्छ। हामीले गणितज्ञहरूले सकारात्मक मान्ने दिशामा घुमाउने सङ्ख्या निर्दिष्ट गर्छ भनेर हामीले अनुमान गर्छौं: घडीको विपरीत दिशामा। नम्बर -i ले सूचकहरू चलिरहेको दिशामा घुमाउने वर्णन गर्दछ।

तर के i र -i जस्ता संख्याहरू अवस्थित छन्? छ! हामीले भर्खरै तिनीहरूलाई जीवनमा ल्यायौं। म सुन्दै छु? कि तिनीहरू हाम्रो टाउकोमा मात्र अवस्थित छन्? खैर, के आशा गर्ने? अन्य सबै संख्याहरू पनि हाम्रो दिमागमा मात्र अवस्थित छन्। हामीले हाम्रो नवजात संख्या जीवित छ कि भनेर हेर्न आवश्यक छ। थप स्पष्ट रूपमा, डिजाइन तार्किक छ कि छैन र के तिनीहरू केहि को लागी उपयोगी हुनेछ। कृपया यसको लागि मेरो शब्द लिनुहोस् कि सबै कुरा व्यवस्थित छ र यी नयाँ नम्बरहरू साँच्चै उपयोगी छन्। 3+i, 5-7i जस्ता संख्याहरू सामान्यतया: a+bi लाई जटिल संख्याहरू भनिन्छ। मैले तपाईंलाई प्लेन घुमाएर कसरी प्राप्त गर्न सकिन्छ भनेर देखाएको छु। तिनीहरू विभिन्न तरिकामा प्रविष्ट गर्न सकिन्छ: समतलमा बिन्दुहरूको रूपमा, केही बहुपदहरूको रूपमा, कुनै प्रकारको संख्यात्मक एरेहरूको रूपमा ... र प्रत्येक पटक तिनीहरू समान हुन्छन्: समीकरण x² +1=0 त्यहाँ कुनै तत्व छैन... होकस पोकस पहिले नै छ!!!! आउनुहोस् रमाईलो र रमाइलो गरौं !!!

भ्रमणको अन्त्य

यसले नक्कली नम्बरहरूको देशको हाम्रो पहिलो भ्रमणको समापन गर्दछ। अन्य अनौठा संख्याहरू मध्ये, म ती संख्याहरू पनि उल्लेख गर्नेछु जसको अगाडि असीमित अंकहरू छन्, पछाडि होइन (तिनीहरूलाई 10-adic भनिन्छ, हाम्रो लागि p-adic बढी महत्त्वपूर्ण छ, जहाँ p एक प्रमुख संख्या हो), को लागि। उदाहरण X = ...... 96109004106619977392256259918212890625

कृपया X गणना गरौं²। किनभने? के हुन्छ यदि हामीले अंकहरूको असीमित संख्या पछिको संख्याको वर्ग गणना गर्छौं? खैर, त्यसै गरौं। हामीलाई थाहा छ कि एक्स² = ख्।

समीकरणलाई सन्तुष्ट पार्ने अङ्कहरूको अगाडि असीम संख्या भएको अर्को यस्तो सङ्ख्या फेला पारौं। संकेत: छ मा समाप्त हुने संख्याको वर्ग पनि छ मा समाप्त हुन्छ। 76 मा समाप्त हुने संख्याको वर्ग पनि 76 मा समाप्त हुन्छ। 376 मा समाप्त हुने संख्याको वर्ग पनि 376 मा समाप्त हुन्छ। 9376 मा समाप्त हुने संख्याको वर्ग पनि 9376 मा समाप्त हुन्छ। मा समाप्त हुने संख्याको वर्ग XNUMX मा… त्यहाँ संख्याहरू पनि छन् जुन यति सानो छन् कि, सकारात्मक हुँदा, तिनीहरू अन्य कुनै पनि सकारात्मक संख्या भन्दा सानो रहन्छन्। तिनीहरू यति साना छन् कि कहिलेकाहीँ शून्य प्राप्त गर्न तिनीहरूलाई वर्ग गर्न पर्याप्त छ। त्यहाँ संख्याहरू छन् जुन शर्त पूरा गर्दैन a × b = b × a। अनन्त संख्याहरू पनि छन्। त्यहाँ कतिवटा प्राकृतिक संख्याहरू छन्? असीम धेरै? हो, तर कति? यसलाई संख्याको रूपमा कसरी व्यक्त गर्न सकिन्छ? उत्तर: अनन्त संख्याहरू मध्ये सबैभन्दा सानो; यसलाई सुन्दर अक्षरले चिन्ह लगाइएको छ: A र शून्य अनुक्रमणिका A को साथ पूरक₀ , aleph-शून्य।

त्यहाँ पनि संख्याहरू छन् जुन हामीलाई थाहा छैन अवस्थित छ... वा तपाईंले चाहे अनुसार विश्वास वा अविश्वास गर्न सक्नुहुन्छ। र जस्तै बोल्दै: मलाई आशा छ कि तपाईलाई अझै पनि अवास्तविक संख्याहरू, काल्पनिक प्रजाति संख्याहरू मनपर्छ।