जटिल व्यवहार अर्थात् अराजकता भएका सरल मोडेलहरू
कम्प्यूटर एक उपकरण हो जुन वैज्ञानिकहरु द्वारा प्रकृति द्वारा सावधानीपूर्वक लुकेका रहस्यहरु को पर्दाफास गर्न को लागी प्रयोग गरिन्छ। प्रयोग र सिद्धान्तसँगै मोडलिङ संसारको अध्ययन गर्ने तेस्रो माध्यम बन्दै गएको छ ।
तीन वर्ष पहिले, सिलेसिया विश्वविद्यालयमा, हामीले शिक्षामा कम्प्युटर विधिहरू एकीकृत गर्ने कार्यक्रम सुरु गर्यौं। नतिजाको रूपमा, धेरै अत्यन्तै रोमाञ्चक शिक्षात्मक सामग्रीहरू सिर्जना गरिएका छन्, धेरै विषयहरू अध्ययन गर्न सजिलो र गहिरो बनाउँदै। पाइथन मुख्य उपकरणको रूपमा छनोट गरिएको थियो, जुन, उपलब्ध वैज्ञानिक पुस्तकालयहरूको शक्तिसँगै, सम्भवतः समीकरण, छवि वा डेटाको साथ "कम्प्यूटर प्रयोगहरू" को लागि उत्तम समाधान हो। पूर्ण वर्कबेन्चको सबैभन्दा चाखलाग्दो कार्यान्वयन मध्ये एक सेज [२] हो। यो पाइथन भाषाको साथ कम्प्युटर बीजगणित प्रणालीको खुला एकीकरण हो, र यसले तपाइँलाई वेब ब्राउजर प्रयोग गरेर तुरुन्तै प्ले गर्न सुरु गर्न अनुमति दिन्छ र क्लाउड सेवा [३] वा एकल कम्प्युटिङ सर्भर मार्फत सम्भावित पहुँच विकल्पहरू जसमा अन्तरक्रियात्मक यस लेखको संस्करण [४] मा आधारित छ।
पारिस्थितिकी मा अराजकता
अक्सफोर्ड विश्वविद्यालयमा पहिलो वर्षमा, अष्ट्रेलियाका वैज्ञानिक रोबर्ट मेले जनसांख्यिकीय गतिशीलताको सैद्धान्तिक पक्षहरूको अध्ययन गरे। उनले आफ्नो कामलाई एउटा पेपरमा संक्षेप गरे जुन नेचर जर्नलमा उत्तेजक शीर्षक "धेरै जटिल गतिशीलतासँग सरल गणितीय मोडेलहरू" [1] अन्तर्गत प्रकाशित भयो। वर्षौंको दौडान, यो लेख सैद्धान्तिक पारिस्थितिकी मा सबै भन्दा उद्धृत कार्यहरु मध्ये एक भएको छ। यो काममा यस्तो चासोको कारण के हो?
जनसंख्या गतिशीलता को शास्त्रीय समस्या एक विशेष प्रजाति को भविष्य को जनसंख्या को गणना गर्न को लागी, यसको वर्तमान स्थिति को लागी हो। गणितीय रूपमा, इकोसिस्टमलाई सबैभन्दा सरल मानिन्थ्यो जसमा जनसंख्याको एक पुस्ताको जीवन एक सिजन रहन्छ। एउटा राम्रो उदाहरण कीराहरूको जनसंख्या हो जुन एक मौसममा पूर्ण रूपान्तरण हुन्छ, जस्तै पुतलीहरू। समयलाई प्राकृतिक रूपमा जनसङ्ख्याको जीवन चक्रसँग मिल्ने अलग अवधिमा विभाजित गरिएको छ। तसर्थ, यस्तो इकोसिस्टम वर्णन गर्ने समीकरणहरू स्वाभाविक रूपमा तथाकथित छन् अलग समय, अर्थात् t = १,२,३... रोबर्ट मेले अन्य चीजहरू बीचमा त्यस्ता गतिशीलताहरूसँग व्यवहार गरे। आफ्नो तर्कमा, उहाँले पारिस्थितिकी प्रणालीलाई एकल प्रजातिको लागि सरल बनाउनुभयो जसको जनसंख्या अघिल्लो वर्षको जनसंख्याको चतुर्भुज कार्य थियो। यो मोडेल कहाँ बाट आयो?
जनसंख्याको विकासको वर्णन गर्ने सरल अलग समीकरण एक रेखीय मोडेल हो:
जहाँ Ni i-th सिजनमा प्रचुरता हो, र Ni + 1 ले अर्को सिजनमा जनसंख्याको वर्णन गर्दछ। यो देख्न सजिलो छ कि यस्तो समीकरणले तीन परिदृश्यहरू निम्त्याउन सक्छ। जब a = 1, विकासले जनसंख्याको आकार परिवर्तन गर्दैन, र <1 ले विलुप्त हुन जान्छ, र केस a > 1 भनेको असीमित जनसंख्या वृद्धि हो। यसले प्रकृतिमा असन्तुलन ल्याउनेछ। प्रकृतिमा सबै कुरा सीमित भएकोले, यो समीकरणलाई सीमित मात्रामा स्रोतहरूको खातामा समायोजन गर्न अर्थपूर्ण हुन्छ। कल्पना गर्नुहोस् कि कीटहरूले अन्न खान्छ, जुन हरेक वर्ष ठ्याक्कै उस्तै हुन्छ। यदि कीराहरू प्रजनन गर्न सक्ने खानाको मात्राको तुलनामा थोरै छन् भने, तिनीहरू पूर्ण प्रजनन शक्तिमा पुन: उत्पादन गर्न सक्छन्, गणितीय रूपमा स्थिर a > 1 द्वारा निर्धारण गरिन्छ। यद्यपि, कीटहरूको संख्या बढ्दै जाँदा, खाना दुर्लभ हुनेछ र प्रजनन क्षमता घट्नेछ। एउटा महत्त्वपूर्ण अवस्थामा, कसैले कल्पना गर्न सक्छ कि यति धेरै कीराहरू जन्मेका छन् कि तिनीहरूले पुन: उत्पादन गर्न समय नपुग्दै सबै अन्न खान्छ, र जनसंख्या मर्छ। खाद्यान्नमा सीमित पहुँचको प्रभावलाई ध्यानमा राख्ने एउटा मोडेल पहिलो पटक १८३८ मा भेर्हुल्स्टले प्रस्ताव गरेको थियो। यस मोडेलमा वृद्धि दर स्थिर छैन, तर जनसंख्याको अवस्थामा निर्भर गर्दछ:
वृद्धि दर a र Ni बीचको सम्बन्धमा निम्न गुणहरू हुनुपर्दछ: यदि जनसंख्या बढ्यो भने, वृद्धि दर घट्नु पर्छ किनभने खाद्यान्नमा पहुँच गाह्रो छ। निस्सन्देह, यस गुणसँग धेरै प्रकार्यहरू छन्: यी शीर्ष-डाउन प्रकार्यहरू हुन्। Verhulst निम्न सम्बन्ध प्रस्तावित:
जहाँ a>0 र स्थिर K>0 ले खाद्य स्रोतहरू चित्रण गर्छ र वातावरणको क्षमता भनिन्छ। K मा परिवर्तनले जनसंख्या वृद्धि दरलाई कसरी असर गर्छ? यदि K बढ्छ, Ni/K घट्छ। बारीमा, यसले तथ्यलाई निम्त्याउँछ कि 1-Ni/K बढ्छ, जसको मतलब यो बढ्छ। यसको मतलब विकास दर बढ्दै गएको छ र जनसंख्या द्रुत रूपमा बढिरहेको छ। त्यसोभए अघिल्लो मोडेल (1) लाई परिमार्जन गरौं कि विकास दर समीकरण (3) मा जस्तै परिवर्तन हुन्छ। त्यसपछि हामी समीकरण पाउँछौं
यो समीकरण पुनरावर्ती समीकरणको रूपमा लेख्न सकिन्छ
जहाँ xi = Ni / K र xi + 1 = Ni + 1 / K ले समय i र i + 1 मा पुन: मापन गरिएको जनसंख्यालाई जनाउँछ। समीकरण (5) लाई लजिस्टिक समीकरण भनिन्छ।
यस्तो लाग्न सक्छ कि यस्तो सानो परिमार्जन संग, हाम्रो मोडेल विश्लेषण गर्न सजिलो छ। यसलाई जाँच गरौं। प्रारम्भिक जनसंख्या x5 = 0.5 बाट सुरु हुने प्यारामिटर a = 0 को लागि समीकरण (0.45) लाई विचार गर्नुहोस्। क्रमिक जनसंख्या मानहरू पुनरावर्ती समीकरण (5) प्रयोग गरेर प्राप्त गर्न सकिन्छ:
x1= कुल्हाडी0(१ पृ0)
x2= कुल्हाडी1(१ पृ1)
x3= कुल्हाडी2(१ पृ2)
(6) मा गणनाहरू सहज बनाउन, हामी निम्न प्रोग्राम प्रयोग गर्न सक्छौं (यो पाइथनमा लेखिएको छ र सेज प्लेटफर्ममा अन्य चीजहरू बीच चलाउन सकिन्छ। हामी तपाईंलाई पुस्तक http://icse.us.edu पढ्न सिफारिस गर्छौं। .pl/e-book। ), हाम्रो मोडेलको नक्कल गर्दै:
a = २ x = 0.45 म दायरामा (१०): x \u1d a * x * (XNUMX-x) प्रिन्ट एक्स
हामी xi को क्रमिक मानहरू गणना गर्छौं र नोटिस गर्छौं कि तिनीहरू शून्यमा हुन्छन्। माथिको कोडको साथ प्रयोग गरेर, यो x0 को प्रारम्भिक मानको परवाह नगरी यो सत्य हो भनेर हेर्न पनि सजिलो छ। यसको अर्थ जनसङ्ख्या निरन्तर मरिरहेको छ ।
विश्लेषणको दोस्रो चरणमा, हामी प्यारामिटर a को दायरा ae (1,3) को कुनै पनि मानमा बढाउँछौं। यो बाहिर जान्छ कि त्यसपछि अनुक्रम xi एक निश्चित मात्रामा जान्छ x * > 0। पारिस्थितिकी को दृष्टिकोणबाट यसलाई व्याख्या गर्दै, हामी भन्न सक्छौं कि जनसंख्या आकार एक निश्चित स्तर मा निश्चित छ, जुन मौसम देखि मौसम परिवर्तन हुँदैन। । यो ध्यान दिन लायक छ कि x * को मान प्रारम्भिक अवस्था x0 मा निर्भर गर्दैन। यो इकोसिस्टमको स्थिरताको लागि प्रयासको प्रभाव हो - जनसंख्याले आफ्नो आकारलाई आफैलाई खुवाउने क्षमतामा समायोजन गर्दछ। गणितीय रूपमा, यो भनिन्छ कि प्रणाली एक स्थिर निश्चित बिन्दुमा झुक्छ, अर्थात्। सन्तुष्टि समानता x = f(x) (यसको मतलब अर्को क्षणमा राज्य अघिल्लो क्षणको जस्तै छ)। ऋषि संग, हामी समय संग जनसंख्या प्लट गरेर यो विकास ग्राफिक रूपमा कल्पना गर्न सक्छौं।
यस्तो स्थिरीकरण प्रभाव शोधकर्ताहरूले अपेक्षा गरेका थिए, र लजिस्टिक समीकरण (5) ले धेरै ध्यान आकर्षित गर्ने थिएन यदि यो आश्चर्यको लागि होइन। यो बाहिर भयो कि प्यारामिटर को केहि मानहरु को लागी, मोडेल (5) एक अप्रत्याशित तरीका मा व्यवहार गर्दछ। पहिलो, त्यहाँ आवधिक र बहुविध अवस्थाहरू छन्। दोस्रो, प्रत्येक पटक पाइलाको साथमा, जनसङ्ख्या असमान रूपमा परिवर्तन हुन्छ, अनियमित आन्दोलन जस्तै। तेस्रो, प्रारम्भिक अवस्थाहरूमा ठूलो संवेदनशीलता छ: दुई लगभग अविभाज्य प्रारम्भिक अवस्थाहरूले पूर्ण रूपमा फरक जनसंख्या विकासको नेतृत्व गर्दछ। यी सबै विशेषताहरू व्यवहारको विशेषता हुन् जुन पूर्ण रूपमा अनियमित आन्दोलनसँग मिल्दोजुल्दो छ र यसलाई निर्धारणात्मक अराजकता भनिन्छ।
यो सम्पत्ती अन्वेषण गरौं!
पहिले, प्यारामिटर a = 3.2 को मान सेट गरौं र विकासलाई हेरौं। यो अचम्म लाग्न सक्छ कि यस पटक जनसंख्या एक मूल्यमा पुग्दैन, तर दुई, जुन प्रत्येक दोस्रो सिजनमा लगातार हुन्छ। तर, समस्या त्यहाँ अन्त्य नभएको देखियो । एक = 4 संग, प्रणाली अब अनुमान गर्न योग्य छैन। आकृति (२) लाई हेरौं वा कम्प्युटर प्रयोग गरेर हामी आफैले संख्याहरूको अनुक्रम उत्पन्न गर्नेछौं। नतिजाहरू विशुद्ध रूपमा अनियमित र थोरै फरक प्रारम्भिक जनसंख्याको लागि एकदम फरक देखिन्छ। यद्यपि, सचेत पाठकले विरोध गर्नुपर्छ। एक निश्चित समीकरण 2 द्वारा वर्णन गरिएको प्रणाली, एक धेरै सरल पनि, कसरी अप्रत्याशित व्यवहार गर्न सक्छ? खैर, सायद।
यस प्रणालीको एक विशेषता प्रारम्भिक अवस्थाहरूमा यसको उल्लेखनीय संवेदनशीलता हो। यो दुई प्रारम्भिक अवस्थाहरूसँग सुरु गर्न पर्याप्त छ जुन एक मिलियनमा फरक छ, र केही चरणहरूमा हामीले पूर्ण रूपमा फरक जनसंख्या मानहरू प्राप्त गर्नेछौं। कम्प्युटरमा जाँच गरौं:
a = 4.0
x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] म दायरामा (१०): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) प्रिन्ट एक्स, वाई
यहाँ निर्धारणवादी विकासको सरल मोडेल छ। तर यो निश्चयवाद भ्रामक छ, यो केवल गणितीय निर्धारणवाद हो। व्यावहारिक दृष्टिकोणबाट, प्रणालीले अप्रत्याशित रूपमा व्यवहार गर्दछ किनभने हामी कहिल्यै प्रारम्भिक अवस्थाहरू गणितीय रूपमा सेट गर्न सक्दैनौं। वास्तवमा, सबै कुरा एक निश्चित शुद्धता संग निर्धारण गरिन्छ: प्रत्येक मापन उपकरण एक निश्चित शुद्धता छ, र यो अराजकता को गुण भएको deterministic प्रणाली मा व्यावहारिक अप्रत्याशितता हुन सक्छ। एउटा उदाहरण मौसम पूर्वानुमान मोडेलहरू हो, जसले सधैं अराजकताको गुण प्रदर्शन गर्दछ। यही कारणले दीर्घकालीन मौसम पूर्वानुमान धेरै खराब छ।
अराजक प्रणालीहरूको विश्लेषण अत्यन्तै गाह्रो छ। यद्यपि, हामी कम्प्यूटर सिमुलेशनको मद्दतले अराजकताका धेरै रहस्यहरू सजिलैसँग समाधान गर्न सक्छौं। हामी तथाकथित bifurcation रेखाचित्र कोरौं, जसमा हामी प्यारामिटर a को मानहरू abscissa अक्षको साथ राख्छौं, र लजिस्टिक म्यापिङको स्थिर निश्चित बिन्दुहरू ordinate axis को साथमा राख्छौं। हामी एकै साथ धेरै संख्यामा प्रणालीहरू सिमुलेट गरेर र धेरै नमूना पटक पछि मानहरू प्लट गरेर स्थिर अंकहरू प्राप्त गर्छौं। तपाईं अनुमान गर्न सक्नुहुन्छ, यो धेरै गणना आवश्यक छ। निम्न मानहरूलाई "सावधानीपूर्वक" प्रक्रिया गर्ने प्रयास गरौं:
numpy लाई np को रूपमा आयात गर्नुहोस् Nx = 300 त्यो = 500 x = np.linspace(0,1, nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) म दायरामा (१०): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] a_,x_ in को लागि zip(a.flatten(),x.flatten())] बिन्दु (pt, साइज = 1, फिगसाइज = (7,5))
हामीले आकृति (3) जस्तै केहि प्राप्त गर्नुपर्छ। यो रेखाचित्र कसरी व्याख्या गर्ने? उदाहरणका लागि, प्यारामिटर ए = 3.3 को मानसँग, हामीसँग 2 स्थिर निश्चित बिन्दुहरू छन् (जनसंख्या आकार प्रत्येक दोस्रो सिजन समान छ)। यद्यपि, प्यारामिटर a = 3.5 को लागि हामीसँग 4 स्थिर बिन्दुहरू छन् (प्रत्येक चौथो सत्रमा जनसंख्याको आकार समान छ), र प्यारामिटर a = 3.56 को लागि हामीसँग 8 स्थिर अंकहरू छन् (प्रत्येक आठौं सिजनको जनसंख्याको आकार समान छ)। तर प्यारामिटर a≈3.57 को लागि, हामीसँग असीम रूपमा धेरै निश्चित बिन्दुहरू छन् (जनसंख्या आकार कहिल्यै दोहोरिदैन र अप्रत्याशित तरिकामा परिवर्तन हुन्छ)। यद्यपि, कम्प्युटर प्रोग्रामको साथ, हामी प्यारामिटर a को दायरा परिवर्तन गर्न सक्छौं र आफ्नै हातले यस रेखाचित्रको अनन्त ज्यामितीय संरचना अन्वेषण गर्न सक्छौं।
यो हिमशैलीको टुप्पो मात्र हो। यस समीकरणको बारेमा हजारौं वैज्ञानिक कागजातहरू लेखिएका छन्, तर यसले अझै पनि यसको रहस्य लुकाउँछ। कम्प्यूटर सिमुलेशनको मद्दतले, तपाईले उच्च गणितको सहारा नगरीकन, गैररेखीय गतिशीलताको संसारको अग्रगामी खेल्न सक्नुहुन्छ। हामी तपाईंलाई लजिस्टिक समीकरणका धेरै रोचक गुणहरू र तिनीहरूलाई कल्पना गर्ने चाखलाग्दो तरिकाहरूमा विवरणहरू समावेश भएको अनलाइन संस्करण पढ्न आमन्त्रित गर्दछौं।
1 एक नियतात्मक कानून एक कानून हो जसमा भविष्य विशिष्ट रूपमा प्रारम्भिक अवस्था द्वारा निर्धारण गरिन्छ। विलोम सम्भाव्य कानून हो। 2 गणितमा, "असक्रित" भनेको निश्चित गणनायोग्य सेटबाट मानहरू प्राप्त गर्नु हो। यसको विपरीत "निरन्तर" हो।
