हामी किन शून्यले विभाजन गर्दैनौं?

पाठकहरूलाई अचम्म लाग्न सक्छ कि मैले एउटा पूरै लेख किन यस्तो साधारण मुद्दामा समर्पित गरें? कारण हो, नाममा अपरेसन गर्ने विद्यार्थीहरूको अचम्मको संख्या (!)। र विद्यार्थी मात्र होइन। कहिलेकाहीँ म शिक्षकहरू समात्छु। यस्ता शिक्षकका विद्यार्थीले गणितमा के गर्न सक्छन् ? यो पाठ लेख्नुको तत्काल कारण एक शिक्षकसँगको कुराकानी थियो जसको लागि शून्यले विभाजन गर्नु कुनै समस्या थिएन ...

शून्यको साथ, हो, कुनै पनि चीजको झन्झट बाहेक, किनकि हामीले यसलाई दैनिक जीवनमा प्रयोग गर्न आवश्यक छैन। हामी शून्य अण्डाको लागि किनमेल गर्दैनौं। "कोठामा एकजना व्यक्ति छन्" कुनै न कुनै रूपमा प्राकृतिक सुनिन्छ, र "शून्य मानिसहरू" कृत्रिम सुनिन्छ। भाषाविद्हरू भन्छन् कि शून्य भाषा प्रणाली बाहिर छ।

हामी बैंक खाताहरूमा शून्य बिना पनि गर्न सक्छौं: केवल प्रयोग गर्नुहोस् - थर्मामीटरमा जस्तै - सकारात्मक र नकारात्मक मानहरूको लागि रातो र नीलो (ध्यान दिनुहोस् कि तापक्रमको लागि सकारात्मक संख्याहरूको लागि रातो प्रयोग गर्नु स्वाभाविक हो, र बैंक खाताहरूको लागि यो। अर्को तरिका हो, किनकि डेबिटले चेतावनी ट्रिगर गर्नुपर्छ, त्यसैले रातो अत्यधिक सिफारिस गरिन्छ)।

शून्यलाई प्राकृतिक संख्याको रूपमा समावेश गरेर, हामी भिन्नताको समस्यालाई छुन्छौं कार्डिनल नम्बर od घरपरिवार। 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. भित्र

संख्याको शक्ति यो उभिएको ठाउँको संख्या जस्तै हो। अन्यथा, यो पहिले नै अनुक्रम 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….. मा छ।

सिंगलटन सेटहरूको संख्या दोस्रो आउँछ, दुई तत्वहरू भएका सेटहरूको संख्या तेस्रो आउँछ, र यस्तै। हामीले व्याख्या गर्नुपर्दछ, उदाहरणका लागि, हामी किन स्क्र्याचबाट प्रतियोगिताहरूमा खेलाडीहरूको स्थानहरू नम्बर गर्दैनौं। त्यसपछि पहिलो स्थानको विजेताले रजत पदक प्राप्त गर्नेछ (स्वर्ण शून्य स्थान विजेतालाई गयो), र यस्तै। फुटबलमा केहि हदसम्म यस्तै प्रक्रिया प्रयोग गरिएको थियो - मलाई थाहा छैन पाठकहरूलाई थाहा छ कि "लीग वन" भनेको "लिग वन" हो। सबै भन्दा राम्रो पछ्याउनुहोस्।" ", र शून्य लिगलाई "प्रमुख लिग" बन्न भनिन्छ।

कहिलेकाहीँ हामी तर्क सुन्छौं कि हामीले स्क्र्याचबाट सुरु गर्न आवश्यक छ, किनभने यो आईटी मानिसहरूका लागि सुविधाजनक छ। यी विचारहरू जारी राख्दै, एक किलोमिटरको परिभाषा परिवर्तन गर्नुपर्छ - यो 1024 मीटर हुनुपर्छ, किनभने यो एक किलोबाइटमा बाइटहरूको संख्या हो (म कम्प्युटर वैज्ञानिकहरूलाई थाहा भएको मजाकलाई सन्दर्भ गर्नेछु: "नयाँ मानिस र के बीच फरक छ? कम्प्युटर विज्ञानको विद्यार्थी र यस संकायको पाँचौं वर्षको विद्यार्थी? कि एक किलोबाइट 1000 किलोबाइट हो, अन्तिम - कि एक किलोमिटर 1024 मिटर हो")!

अर्को दृष्टिकोण, जुन पहिले नै गम्भीरताका साथ लिनु पर्छ, यो हो: हामी सधैं स्क्र्याचबाट मापन गर्छौं! यो शासक मा कुनै पनि स्केल हेर्न पर्याप्त छ, घरको तराजू मा, घडी मा पनि। हामीले शून्यबाट नाप्ने हुनाले, र गिनतीलाई आयामविहीन एकाइको मापनको रूपमा बुझ्न सकिन्छ, त्यसकारण हामीले शून्यबाट गणना गर्नुपर्छ।

यो सामान्य कुरा हो, तर...

सामान्य तर्क छोडौं र शून्य द्वारा विभाजनमा फर्कौं। कुरा सरल छ र यो सरल हुन्थ्यो यदि यो नभएको भए ... त्यसो भए के? सोचौं र प्रयास गरौं। यो कति हुन सक्छ - एक शून्य द्वारा विभाजित? हेरौं: 1/0 = x। बायाँ छेउको भाजकद्वारा दुवै पक्षलाई गुणन गर्नुहोस्।

हामीले 1=0 पाउँछौं। केही गलत छ! के भयो? ए अनुमान! एकता र शून्यको अंश हुन्छ भन्ने धारणाले विरोधाभास निम्त्याउँछ। र यदि एकलाई शून्यले भाग गर्न सकिँदैन भने, अर्को संख्याले गर्न सक्छ। यदि, पाठक, यदि तपाइँ आफ्नो काँध हल्लाउनुहुन्छ र आश्चर्यचकित हुनुहुन्छ कि लेखक (अर्थात, म) ले किन यस्तो अपमानको बारेमा लेख्छन्, तब ... म धेरै खुसी छु!

सूत्र 0/0 = 0 लाई जिद्दी आधारमा रक्षा गर्न सकिन्छ, तर यो नियमको विरोधाभास हो कि संख्या आफैले भाग गर्दा परिणाम एक बराबर हुन्छ। बिल्कुल, तर एकदम फरक ०/०, °/° र क्याल्कुलसमा जस्तै प्रतीकहरू छन्। तिनीहरूको मतलब कुनै संख्या होइन, तर निश्चित प्रकारका विशेष अनुक्रमहरूको लागि प्रतीकात्मक पदनामहरू हुन्।

एक विद्युतीय ईन्जिनियरिङ् पुस्तकमा, मैले एउटा रोचक तुलना फेला पारे: शून्यले विभाजन गर्नु उच्च भोल्टेज बिजुली जस्तै खतरनाक छ। यो सामान्य छ: ओमको नियमले प्रतिरोध र भोल्टेजको अनुपात विद्युत् प्रवाहको बराबर छ भनी बताउँछ: V = U / R। यदि प्रतिरोध शून्य थियो भने, एक सैद्धान्तिक रूपमा असीम विद्युत् प्रवाह सबै सम्भावित कन्डक्टरहरू जलाएर कन्डक्टरबाट हुने थियो।

मैले एक पटक हप्ताको प्रत्येक दिनको लागि शून्यले विभाजन गर्दा हुने खतराहरूको बारेमा एउटा कविता लेखेको थिएँ। मलाई याद छ कि सबैभन्दा नाटकीय दिन बिहीबार थियो, तर यो यस क्षेत्रमा मेरो सबै कामको लागि दयाको कुरा हो।

जब तपाईं कुनै चीजलाई शून्यले भाग गर्नुहुन्छ

सोमबार धेरै बिहान

भर्खरै के भयो हप्ता

तिमी पहिले नै नराम्ररी असफल भइसकेका छौ।

जब मंगलबार दिउँसो

तपाईंले डिनोमिनेटरमा शून्य राख्नुहुन्छ

तब म तिमीलाई भन्छु, तपाईं गलत हुनुहुन्छ

खराब गणितज्ञ!

जब शून्यबाट, विकृति मार्फत,

बुधबार विभाजन गर्न चाहन्छु

तपाई धेरै समस्यामा पर्नुहुनेछ

तपाईको टाउकोमा घाँस र पानी छ!

एक निश्चित Bartek हामी संग थियो।

उनी नियमसँग बाझिएका थिए ।

बिहीबार, यो शून्यले भाग्छ।

उहाँ अब हामी बीच छैन!

यदि कुनै अनौठो इच्छाले तपाईंलाई समात्छ

शुक्रबार शून्यले भाग्नुहोस्

म इमानदार हुनेछु, म इमानदार हुनेछु:

यो सप्ताहन्तमा खराब सुरुवात।

जब यो शून्य हुन्छ, शनिबार कतै

विभाजक तपाईको हुनेछ (बोल्ड होइन)

चर्चको बार मुनि घुँडा टेक्नुहोस्।

यो तिम्रो पुनरुत्थान हो।

के तपाई ड्यास मुनि शून्य चाहनुहुन्छ,

आइतवार बिदा बनाउनुहोस्

चक, कालो बोर्ड ल्याउनुहोस्।

लेख्नुहोस्: यो शून्य द्वारा विभाजित छैन!

शून्य शून्यता र शून्यता संग सम्बन्धित छ। वास्तवमा, उहाँ एक मात्राको रूपमा गणितमा आउनुभयो जुन, कुनैमा थप्दा, यसलाई परिवर्तन गर्दैन: x + 0 = x। तर अब शून्य धेरै अन्य मानहरूमा देखिन्छ, विशेष गरी स्केल सुरु। यदि सञ्झ्याल बाहिर न त सकारात्मक तापमान छ न फ्रस्ट, त्यसपछि ... यो शून्य हो, जसको मतलब यो होइन कि त्यहाँ कुनै तापक्रम छैन। एक शून्य-वर्ग स्मारक त्यो होइन जुन लामो समयदेखि भत्किएको छ र केवल अवस्थित छैन। यसको विपरित, यो वावेल, एफिल टावर र स्ट्याच्यू अफ लिबर्टी जस्तो छ।

ठिक छ, स्थितिगत प्रणालीमा शून्यको महत्त्वलाई कमै अनुमान गर्न सकिन्छ। के तपाईलाई थाहा छ, पाठक, बिल गेट्सको बैंक खातामा कति शून्य छ? मलाई थाहा छैन, तर म आधा चाहन्छु। स्पष्ट रूपमा, नेपोलियन बोनापार्टले याद गरे कि मानिसहरू शून्य जस्तै छन्: तिनीहरू स्थिति मार्फत अर्थ प्राप्त गर्छन्। एन्ड्रजेज वाज्दाको फिल्म एज द इयर्स, एज द डेज गो बाय, भावुक कलाकार जेर्जी विस्फोटन गर्छन्: "फिलिस्टाइन शून्य, निहिल, केहि, केहि, निहिल, शून्य हो।" तर शून्य राम्रो हुन सक्छ: "मान्यताबाट शून्य विचलन" भनेको सबै कुरा ठीक हुँदैछ, र यसलाई जारी राख्नुहोस्!

गणितमा फर्कौं। शून्य थप्न, घटाउन र दण्डहीनता संग गुणन गर्न सकिन्छ। "मैले शून्य किलोग्राम बढाएँ," मन्या आन्यालाई भन्छिन्। "र यो चाखलाग्दो छ, किनकि मैले उही वजन गुमाए," अन्या जवाफ दिन्छिन्। त्यसोभए आइसक्रिमको छ पटक छ शून्य सर्विंग खाऔं, यसले हामीलाई हानि गर्दैन।

हामी शून्यले भाग्न सक्दैनौं, तर हामी शून्यले भाग गर्न सक्छौं। खानाको पर्खाइमा बसेकाहरूलाई शून्य डम्पलिंगको थाल सजिलै हस्तान्तरण गर्न सकिन्छ। प्रत्येकले कति पाउनेछन्?

शून्य सकारात्मक वा नकारात्मक होइन। यो र नम्बर गैर-सकारात्मकи गैर नकारात्मक। यसले असमानता x≥0 र x≤0 लाई सन्तुष्ट गर्दछ। विरोधाभास "केही सकारात्मक" "केही नकारात्मक" होइन, तर "केही नकारात्मक वा शून्य बराबर" हो। गणितज्ञहरू, भाषाको नियमहरूको विपरीत, सधैं भन्नेछन् कि केहि "शून्य को बराबर" हो र "शून्य" होइन। यस अभ्यासको औचित्य प्रमाणित गर्न, हामीसँग छ: यदि हामीले सूत्र x = 0 "x शून्य छ", तब x = 1 पढ्छौं "x बराबर एक" हो, जुन निल्न सकिन्छ, तर "x = 1534267" को बारेमा के हुन्छ? तपाईंले क्यारेक्टर ० लाई संख्यात्मक मान पनि तोक्न सक्नुहुन्न⁰न त शून्यलाई नकारात्मक शक्तिमा बढाउनुहोस्। अर्कोतर्फ, तपाईं इच्छामा शून्य रूट गर्न सक्नुहुन्छ ... र परिणाम सधैं शून्य हुनेछ। 

घातांक प्रकार्य y = a^x, a को सकारात्मक आधार कहिल्यै शून्य हुँदैन। यो कुनै शून्य लोगारिदम छैन भनेर पछ्याउँछ। वास्तवमा, a देखि आधार b को लोगारिदम घातांक हो जसमा a को लोगारिदम प्राप्त गर्न आधार उठाउनु पर्छ। a = 0 को लागि, त्यहाँ त्यस्तो कुनै सूचक छैन, र शून्य लोगारिदमको आधार हुन सक्दैन। यद्यपि, न्यूटनको प्रतीकको "भाजक" मा शून्य अर्को कुरा हो। हामी मान्दछौं कि यी अधिवेशनहरूले विरोधाभासको नेतृत्व गर्दैनन्।

गलत प्रमाण

शून्य द्वारा विभाजन गलत प्रमाणहरूको लागि एक सामान्य विषय हो, र यो अनुभवी गणितज्ञहरूलाई पनि हुन्छ। म तपाईंलाई मेरो मनपर्ने दुई उदाहरणहरू दिन्छु। पहिलो बीजगणितीय छ। म "प्रमाण" गर्नेछु कि सबै संख्या बराबर छन्। मानौं त्यहाँ दुईवटा संख्याहरू छन् जुन बराबर छैनन्। त्यसकारण, तिनीहरू मध्ये एउटा अर्को भन्दा ठूलो छ, मानौं a > b। हामी मानौं कि c तिनीहरूको भिन्नता हो

c \uXNUMXd a - b। त्यसैले हामीसँग a - b = c, जहाँबाट a = b + c छ।

हामी पछिल्लोको दुवै भागलाई a - b ले गुणन गर्छौं:

a² - ab = ab + ac - b2 - bc।

म बायाँ छेउमा ak अनुवाद गर्छु, पक्कै पनि मलाई चिन्ह परिवर्तन गर्ने बारे सम्झना छ:

a² – ab – ac = ab – b2 – bc।

म सामान्य कारकहरू बहिष्कार गर्छु:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

म साझा गर्छु र मसँग मैले चाहेको कुरा छ:

a = b

र वास्तवमा पनि अपरिचित, किनकि मैले a > b मान्थे र मैले त्यो a = b पाएँ। यदि माथिको उदाहरणमा "धोखा" लाई पहिचान गर्न सजिलो छ भने, तलको ज्यामितीय प्रमाणमा यो त्यति सजिलो छैन। म प्रमाणित गर्नेछु कि ... trapezoid अवस्थित छैन। सामान्यतया ट्रापेजोइड भनिने आकृति अवस्थित छैन।

तर पहिले मानौं कि त्यहाँ trapezoid (तलको चित्रमा ABCD) जस्तो चीज छ। यसमा दुई समानान्तर पक्षहरू ("आधारहरू") छन्। चित्रमा देखाइए अनुसार यी आधारहरू तन्काउनुहोस्, ताकि हामीले समानान्तर चतुर्भुज प्राप्त गर्छौं। यसको विकर्णहरूले ट्रापेजोइडको अन्य विकर्णलाई खण्डहरूमा विभाजन गर्दछ जसको लम्बाइ x, y, z लाई जनाइएको छ। 1।। सम्बन्धित त्रिकोणहरूको समानताबाट, हामी अनुपातहरू प्राप्त गर्छौं:

जहाँ हामी परिभाषित गर्छौं:

ओराज

जहाँ हामी परिभाषित गर्छौं:

तारा चिन्हले चिन्ह लगाइएको समानताका पक्षहरूलाई घटाउनुहोस्:

 दुबै पक्षहरूलाई x − z द्वारा छोटो पार्दा, हामीले – a/b = 1 पाउँछौं, जसको अर्थ a + b = 0 हुन्छ। तर संख्याहरू a, b trapezoid को आधारहरूको लम्बाइ हुन्। यदि तिनीहरूको योगफल शून्य छ भने, तिनीहरू पनि शून्य छन्। यसको मतलब यो हो कि ट्रापेजोइड जस्तो आकृति अवस्थित हुन सक्दैन! र आयतहरू, rhombuses र वर्गहरू पनि trapezoids हुनाले, त्यसपछि, प्रिय पाठक, त्यहाँ कुनै rhombuses, आयताकार र वर्गहरू छैनन् ...

त्यस्तै

जानकारी आदान प्रदान चार आधारभूत गतिविधिहरु मध्ये सबैभन्दा रोचक र चुनौतीपूर्ण छ। यहाँ, पहिलो पटक, हामी वयस्कता मा धेरै सामान्य घटना सामना गर्छौं: "उत्तर अनुमान लगाउनुहोस्, र त्यसपछि जाँच गर्नुहोस् कि तपाईंले सही अनुमान गर्नुभयो।" यसलाई ड्यानियल के. डेनेट (“हाउ टु मेक मिस्टेक्स?”, हाउ इट इज – ए साइन्टिफिक गाइड टु द ब्रह्माण्ड, सीआईएस, वारसा, १९९७) द्वारा एकदमै उपयुक्त रूपमा व्यक्त गरिएको छ:

"अंदाज" को यो विधिले हाम्रो वयस्क जीवनमा हस्तक्षेप गर्दैन - हुनसक्छ किनभने हामी यसलाई चाँडै सिक्न सक्छौं र अनुमान गर्न गाह्रो छैन। वैचारिक रूपमा, उही घटना हुन्छ, उदाहरणका लागि, गणितीय (पूर्ण) प्रेरणमा। एउटै ठाउँमा, हामी सूत्र "अनुमान" गर्छौं र त्यसपछि हाम्रो अनुमान सही छ कि छैन जाँच गर्नुहोस्। विद्यार्थीहरू सधैं सोध्छन्: "हामीले ढाँचा कसरी थाहा पायौं? कसरी निकाल्न सकिन्छ ?" जब विद्यार्थीहरूले मलाई यो प्रश्न सोध्छन्, म तिनीहरूको प्रश्नलाई ठट्टामा परिणत गर्छु: "मलाई यो थाहा छ किनभने म एक पेशेवर हुँ, किनकि मलाई जान्नको लागि भुक्तान गरिन्छ।" विद्यालयमा विद्यार्थीहरूलाई एउटै शैलीमा जवाफ दिन सकिन्छ, केवल अधिक गम्भीर रूपमा।

व्यायाम। ध्यान दिनुहोस् कि हामी जोड र लिखित गुणन सबैभन्दा कम एकाइ संग, र उच्चतम एकाई संग विभाजन सुरु गर्छौं।

दुई विचारहरूको संयोजन

गणित शिक्षकहरूले सँधै औंल्याएका छन् कि हामीले वयस्क विभाजनलाई दुई अवधारणात्मक रूपमा फरक विचारहरूको मिलन हो: आवास i अलगाव.

पहिलो (आवास) कार्यहरूमा देखा पर्दछ जहाँ आर्केटाइप हो:

विभाजन-विभाजन यी जस्ता कार्यहरू हुन्:

? (हामीले यस समस्याको मौलिक शैली कायम राख्छौं, जुन 1892 मा क्राकोमा प्रकाशित जुलियन Zgozalewicz को ह्यान्डबुकबाट लिइएको थियो - zloty भनेको Rhenish zloty हो, जुन मुद्रा अस्ट्रो-हंगेरी साम्राज्यमा XNUMX औं शताब्दीको सुरुसम्म चलिरहेको थियो)।

अब दुई समस्यालाई विचार गर्नुहोस् पोलिश मा सबैभन्दा पुरानो गणित पाठ्यपुस्तक, पिता Tomasz Clos (1538)। यो विभाजन वा कूप हो? यसलाई XNUMX औं शताब्दीका स्कूलका बच्चाहरूले जसरी समाधान गर्नुपर्छ:

(पोलिस देखि पोलिश अनुवाद: एक ब्यारेलमा एक क्वार्ट र चार भाँडो हुन्छ। एउटा भाँडो चार क्वार्ट हुन्छ। कसैले व्यापारको लागि 20 zł मा 50 ब्यारेल रक्सी किन्यो। शुल्क र कर (अन्त: शुल्क?) 8 zł हुनेछ। कति 8 zł कमाउन एक क्वार्ट बेच्नुहोस्?)

खेलकुद, भौतिकी, एकरूपता

कहिलेकाहीँ खेलकुदमा तपाईंले कुनै कुरालाई शून्य (लक्ष्य अनुपात) द्वारा विभाजन गर्नुपर्छ। ठीक छ, न्यायाधीशहरूले यसलाई कुनै न कुनै रूपमा व्यवहार गर्छन्। यद्यपि, अमूर्त बीजगणितमा तिनीहरू एजेन्डामा छन्। गैर-शून्य मात्राजसको वर्ग शून्य छ। यसलाई सरल रूपमा व्याख्या गर्न पनि सकिन्छ।

बिन्दु (y, 0) लाई समतल (x, y) मा बिन्दुसँग सम्बद्ध गर्ने प्रकार्य F लाई विचार गर्नुहोस्। एफ के हो², त्यो हो, F को दोहोरो कार्यान्वयन? शून्य प्रकार्य - प्रत्येक बिन्दुमा छवि (०,०) छ।

अन्तमा, गैर-शून्य मात्राहरू जसको वर्ग ० हो भौतिकशास्त्रीहरूका लागि लगभग दैनिक रोटी हो, र a + bε, जहाँ ε ≠ ०, तर ε² = ०, गणितज्ञहरू बोलाउँछन् दोहोरो संख्या। तिनीहरू गणितीय विश्लेषण र भिन्न ज्यामितिमा हुन्छन्।

आखिर, अंकगणितमा कम्तिमा नाममा शून्यले विभाजन भएको कुरा हो। बाट आउँछ एकरूपता। Z ले पूर्णांकहरूको सेटलाई जनाउँछ। सेट Z लाई p द्वारा विभाजित गर्नुको अर्थ हो कि हामीले प्रत्येक संख्या (पूर्णांक) लाई केहि अन्यसँग बराबर गर्छौं, अर्थात्, तिनीहरूको भिन्नतालाई विभाजित गर्न सकिन्छ। त्यसोभए, जब हामीसँग संख्याहरू 0, 1, 2, 3, 4 - 5 द्वारा विभाजित गर्दा सम्भावित शेषहरू अनुरूप पाँच प्रकारका संख्याहरू हुन्छन्। सूत्र यसरी लेखिएको छ:

mod जब भिन्नता धेरै हुन्छ।

= 2 को लागि, हामीसँग केवल दुई संख्याहरू छन्: 0 र 1। पूर्णांकहरूलाई त्यस्ता दुईवटा वर्गहरूमा विभाजन गर्नु तिनीहरूलाई सम र बिजोरमा विभाजन गर्नु बराबर हो। अब यसलाई प्रतिस्थापन गरौं। भिन्नता सधैं 1 द्वारा विभाजित हुन्छ (कुनै पनि पूर्णांक 1 द्वारा विभाजित हुन्छ)। के यो = ० लिन सम्भव छ? प्रयास गरौं: दुई संख्याको भिन्नता शून्यको गुणन कहिले हुन्छ? यी दुई संख्या बराबर हुँदा मात्र। त्यसैले पूर्णाङ्कहरूको सेटलाई शून्यले विभाजन गर्नुको अर्थ हुन्छ, तर यो चाखलाग्दो छैन: केही हुँदैन। यद्यपि, यो जोड दिनुपर्छ कि यो प्राथमिक विद्यालयबाट ज्ञात अर्थमा संख्याहरूको विभाजन होइन।

त्यस्ता कार्यहरू मात्र निषेधित छन्, साथै लामो र चौडा गणित।

चामल। 2. तुलना प्रयोग गरेर संख्याहरूको पहिचान

(रुख 5 र रूख 2)